变量替换定理

一个定理，有效地描述了长度、面积、体积和广义的 维体积（内容）是如何被可微函数扭曲的。 特别是，变量替换定理将理解内容扭曲的整个问题简化为理解无穷小扭曲，即 导数（一个线性映射）的扭曲，这由线性映射的行列式给出。 因此， 是一个保面积线性变换当且仅当，更一般地，如果 是 的任何子集，则其图像的内容由 乘以原始内容给出。 变量替换定理利用这种无穷小知识，并通过将定义域分成小块并逐步累加面积的变化来应用微积分。

变量替换公式持续存在于流形上的微分k-形式的普遍性中，给出公式

(1)

在条件 和 是具有非空边界的紧连通定向流形， 是一个光滑映射，它是边界的保定向微分同胚。

在一维中，对于 是 的连续函数的定理的显式陈述是

(2)

其中 是区间 上的微分映射， 是区间 ，其中 和 (Lax 1999)。 在二维中，定理的显式陈述是

(3)

在三维中，它是

(4)

其中 是原始区域 的图像，

(5)

是雅可比矩阵，并且 是 和 的全局保定向微分同胚（它们是 的开子集）。

变量替换定理是旋度定理和一点de Rham 上同调的简单结果。 推广到 维不需要额外的假设，只需要边界上的正则性条件。