中心三项式系数

第 个中心三项式系数定义为 在 的展开式中的系数。 因此，它是三项式三角形的中间列，即三项式系数 。 前几个中心三项式系数为 , 2, ... 是 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, ... (OEIS A002426)。

中心三项式系数也给出了 个符号的排列数，每个符号为 , 0 或 1，且总和为 0。例如，三个符号有七个这样的排列： , , , , 和 , , 。

生成函数由下式给出

中心三项式系数由递推公式给出

其中 , 但不能表示为固定数量的超几何项 (Petkovšek et al. 1996, p. 160)。

这些系数满足同余式

(T. D. Noe，私人通讯，2005 年 3 月 15 日) 和

对于素数 ，这很容易使用费马小定理证明 (T. D. Noe，私人通讯，2005 年 10 月 26 日)。

和由下式给出

闭合形式包括

其中 是 Gegenbauer 多项式, 是 Legendre 多项式, 并且 是 正则化超几何函数。

当 , 2, ... 时， 的质因数（包括重数）的个数为 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, ... (OEIS A102445)。 当 , 3 和 4 时， 为素数，对于 没有其他素数 (E. W. Weisstein，2015 年 10 月 30 日)。 尚不清楚是否存在其他素数中心三项式。 此外，一个更普遍的未经证实的猜想表明，除了这三个中心三项式和所有形式为 的三项式之外，没有素数三项式系数。

上图给出了中心三项式系数在复平面上的图。

考虑 的展开式中 的系数，当 , 2, ... 时，得到相应的序列 , , 5, , , 41, , , 365, , ... (OEIS A098331)，闭合形式为

其中 是 Gegenbauer 多项式。 这些数字在 , 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 26, 160, 3787, ... (OEIS A112874) 时为素数，对于 没有其他素数 (E. W. Weisstein，2005 年 3 月 7 日)。