阿贝尔范畴

阿贝尔范畴是一个范畴，其中可以使用同调代数的构造和技术。这类范畴的基本例子是阿贝尔群的范畴，更一般地说是环上的模的范畴。阿贝尔范畴广泛应用于代数、代数几何和拓扑学。

在模范畴中发现的许多相同构造，例如核、正合序列和交换图，在阿贝尔范畴中也可用。必须克服的一个缺点是，范畴中的对象不一定具有可以直接操作的元素，因此传统定义不起作用。因此，必须开发允许在不使用元素的情况下定义和操作对象的方法。

例如，考虑态射的核的定义，其中规定给定，的核定义为一个态射，使得所有态射使得，都通过分解。请注意，此定义不保证核的存在，而只是给出如果核存在则唯一标识它的属性。必须完成类似的工作来定义态射的上核。

有了这些定义，如果一个范畴满足以下五个属性，则可以将其定义为阿贝尔范畴

1. 对于两个对象和，从到的态射集合具有阿贝尔群的结构。必须安排此群结构，以使态射的复合是双线性的。

2. 存在一个对象，记为 0，它既是始对象又是终对象。

3. 有限对象集合的积和上积始终存在。

4. 核和上核始终存在。

5. 如果是一个核为 0 的态射，则是其上核的核。如果是一个上核为 0 的态射，则是其核的上核。

仅满足前三个属性的范畴称为加法范畴。

阿贝尔范畴的例子包括

1. 对于交换环，模在上的范畴是一个阿贝尔范畴。这是基本示例。

2. 固定拓扑空间上的向量丛的范畴是一个阿贝尔范畴。

3. 拓扑空间上的层的范畴是一个阿贝尔范畴。

弗雷德定理指出，每个阿贝尔范畴都是某个环上的模的范畴的子范畴。 Mitchell (1964) 加强了这一点，称每个阿贝尔范畴都是环上模范畴的完全子范畴。尽管有这个结果，阿贝尔范畴的术语和方法仍然有用且强大。