交换图

交换图是一个映射的集合 ，其中所有从同一集合 开始并以同一集合 结束的映射组合都给出相同的结果。用符号表示，这意味着，每当可以形成两个序列

(1)

和

(2)

以下等式成立

(3)

交换图通常由交换三角形和交换正方形组成。

交换三角形和正方形也可以组合形成平面图形或空间排列。

一个交换图也可以包含多个箭头，这些箭头表示同一两个集合之间不同的映射。

环状箭头表示从一个集合到自身的映射。

上面的交换图表达了 是 的逆映射的事实，因为它是一个映射等式 和 的图形化翻译。

这也可以用两个单独的图来表示。

许多其他数学概念和性质，尤其是在代数拓扑、同调代数和范畴论中，可以用交换图来表示。

例如，一个模 是射影模 当且仅当 任何满射模同态 和任何模同态 都可以被完成为一个交换图。

类似地，可以表征内射模的对偶概念：一个模 是内射模 当且仅当 任何内射模同态 和 和任何模同态 都可以被完成为一个交换三角形。

根据贝尔判据，对于 的理想到 的包含映射 ，只需要这个条件就足够了。

另一个基于图的概念的例子是链同态，它可以被可视化为一系列交换正方形。

绘制交换图的优点是可以一目了然地掌握任何给定的映射配置。该图还有助于组合映射的任务，这就像沿着从一个集合到另一个集合的有向路径。许多同调定理是通过研究交换图来证明的：这种方法通常被称为“追逐图表”。