高斯-博内公式有几种形式。最简单的一种形式表达了嵌入三角形的总高斯曲率，它与边界的总测地曲率和角点的跳跃角有关。
更具体地说，如果 
是任何二维黎曼流形（如三维空间中的曲面），如果 
是一个嵌入三角形，那么高斯-博内公式指出，整个三角形上关于面积的高斯曲率积分由 
减去跳跃角之和，再减去三角形边界上关于弧长的测地曲率积分给出，
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(1)
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其中 
是高斯曲率，
是面积度量，
s 是 
的跳跃角，
是 
的测地曲率，其中 
是弧长度量。
高斯-博内公式最常见的另一种形式是：对于任何紧致、无边界的二维黎曼流形，整个流形上关于面积的高斯曲率积分是 
乘以欧拉示性数。
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(2)
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这有点令人惊讶，因为总高斯曲率在性质上是微分几何的，但欧拉示性数在性质上是拓扑的，并且完全不依赖于微分几何。因此，如果你扭曲曲面并改变任何位置的曲率，无论你如何操作，总曲率都会保持不变。
观察三维空间中曲面的高斯-博内定理的另一种方式是，曲面的高斯映射的布劳威尔度由曲面的欧拉示性数的一半给出
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(3)
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这仅适用于可定向曲面，其中 
是紧致的。这使得高斯-博内定理成为庞加莱-霍普夫指标定理的简单推论，如果你是拓扑学家，这是一种很好的观察事物的方式，但对于微分几何学家来说就没那么好了。这个证明可以在 Guillemin 和 Pollack (1974) 中找到。 Millman 和 Parker (1977) 给出了高斯-博内定理的标准微分几何证明，而 Singer 和 Thorpe (1996) 给出了一个受高斯绝妙定理启发的证明，该证明完全是内在的，没有任何参考外部欧几里得空间。
也可以给出考虑了两种公式的通用高斯-博内公式。对于任何带角的紧致二维黎曼流形，2-流形上关于面积的高斯曲率积分是 
乘以欧拉示性数，减去跳跃角之和以及边界的总测地曲率。
