）和有限的 |
通过考虑满足此条件的六个图形可以确定充分性。
存在十六个正则多胞体，其中六个是凸的（Wells 1986，第 68 页），十个是星形的（Wells 1991，第 209 页）。正则凸多胞体有四种主要的对称轴类型，并且在与这些轴正交的三维空间中的投影可以称为“规范”投影。
在六个正则凸多胞体中，通常认为有五个类似于柏拉图立体：4-单体（超四面体），4-交叉多胞体（超八面体），4-立方体（超立方体），600-胞体（超二十面体）和 120-胞体（超十二面体）。然而，24-胞体在更高或更低维度空间中没有完全的类比物。五胞体和24-胞体是自对偶的，16-胞体是超正方体的对偶，600-胞体和120-胞体彼此对偶。
凸正则多胞体在下表中列出（Coxeter 1969，第 414 页；Wells 1991，第 210 页）。
| 名称 | 施莱夫利符号 | 类别 |  |  |  |  |
| 五胞体 |  | 单体 | 5 | 10 | 10 | 5 |
| 16-胞体 |  | 交叉多胞体 | 8 | 24 | 32 | 16 |
| 超正方体 |  | 超立方体 | 16 | 32 | 24 | 8 |
| 24-胞体 |  | 24 | 96 | 96 | 24 | |
| 120-胞体 |  | 600 | 1200 | 720 | 120 | |
| 600-胞体 |  | 120 | 720 | 1200 | 600 |
这里，
是多面体顶点的数量，
是多胞形棱的数量，
是面的数量，并且 
是胞体的数量。这些量满足恒等式
 |
这是多面体公式的一个版本。
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正则星形多胞体被 Normal Johnson 称为施莱夫利-赫斯多胞体，并且是四个正则星形多面体，即开普勒-泊松多面体的类似物。
十个正则星形多胞体中的九个可以通过刻面 
获得。第十个，
，可以通过刻面 
获得。此外，在十个正则星形多胞体中，有几个共享相同的棱：
, 
, 
, and 
; 
, 
, 
, and 
; and 
and 
. 
不与其他任何正则多胞体共享棱。因此，上面仅示出了十个正则星形多胞体的四种不同投影（到任何给定平面或三维空间中）。
