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刘维尔函数

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LiouvilleLambda

函数

lambda(n)=(-1)^(Omega(n)),
(1)

其中 Omega(n) 是 n 的不一定相异的素因子个数，Omega(1)=0。λ(lambda(n)) 对于 n=1, 2, ... 的值为 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, ... (OEIS A008836)。λ(n)=-1 的 n 值为 2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 23, ... (OEIS A026424)，而 λ(n)=+1 的 n 值为 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 24, ... (OEIS A028260)。

刘维尔函数在 Wolfram 语言中实现为LiouvilleLambda[n]。

刘维尔函数通过以下方程与黎曼zeta函数相关联

(zeta(2s))/(zeta(s))=sum_(n=1)^infty(lambda(n))/(n^s)
(2)

(Lehman 1960)。它具有兰伯特级数

sum_(n=1)^(infty)(lambda(n)x^n)/(1-x^n)=sum_(n=1)^(infty)x^(n^2)
(3)
=1/2[theta_3(q)-1],
(4)

其中 theta_3(q)=theta_3(0,q) 是雅可比theta函数。

LiouvilleL

考虑求和函数

L(n)=sum_(k=1)^nlambda(k),
(5)

其对于 n=1, 2, ... 的值为 1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -2, -1, 0, -1, -2, -3, -4, ... (OEIS A002819)。

Lehman (1960) 给出了公式

L(x)=sum_(m=1)^(x/w)mu(m){|_sqrt(x/m)_|-sum_(k=1)^(v-1)lambda(k)(|_x/(km)_|-|_x/(mv)_|)}-sum_(l=x/w-1)^(x/v)L(x/l)sum_(m|l; m=1)^(x/w)mu(m)
(6)

和

L(x)=sum_(k=1)^gM(x/(k^2))+sum_(l=1)^(x/g^2)mu(l)|_sqrt(x/l)_|-M(x/(g^2))|_sqrt(x/(g^2))_|,
(7)

其中 k, l 和 m 是遍历正整数的变量，mu(n) 是莫比乌斯函数，M(x) 是梅滕斯函数，而 v, w 和 x 是正实数，且 v<w<x。

猜想 L(n) 对于 n>=2 满足 L(n)<=0 被称为 Pólya 猜想，并且已被证明是错误的。L(n) 对于 n=1 为正，但在很长一段时间内对于任何其他 n 都不为正。实际上，L(n)=0 的第一个 n 值为 n=2, 4, 6, 10, 16, 26, 40, 96, 586, 906150256, ... (OEIS A028488)，而 n=906150257 是 Pólya 猜想的第一个反例 (Tanaka 1980)。然而，L(x) 是否无限次改变符号是未知的 (Tanaka 1980)。

L(10^n) 对于 n=0, 1, 2, ... 的值为 1, 0, -2, -14, -94, -288, -530, -842, -3884, ... (OEIS A090410)。

另请参阅

Pólya 猜想, 素因子, 黎曼zeta函数

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参考文献

Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, p. 37, 1976.Fawaz, A. Y. "The Explicit Formula for L_0(x)." Proc. London Math. Soc. 1, 86-103, 1951.Gupta, H. "On a Table of Values of L(n)." Proc. Indian Acad. Sci. Sec. A 12, 407-409, 1940.Gupta, H. "A Table of Values of Liouville's Function L(n)." Res. Bull. East Panjab University, No. 3, 45-55, Feb. 1950.Lehman, R. S. "On Liouville's Function." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Ramanujan, S. "Irregular Numbers." J. Indian Math. Soc. 5, 105-106, 1913. Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 20-21, 2000.Ribenboim, P. Algebraic Numbers. New York: Wiley, p. 44, 1972.Roberts, J. The Lure of the Integers. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 279, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A002819/M0042, A008836, A026424, A028260, A028488, and A090410 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Tanaka, M. "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function." Tokyo J. Math. 3, 187-189, 1980.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

刘维尔函数

引用为

Weisstein, Eric W. "刘维尔函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LiouvilleFunction.html

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