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波利亚猜想

令 n 为一个 正整数，且令 r(n) 为 n 的（不必相异的）素因数的数量（其中 r(1)=0）。令 O(m) 为小于等于 <=m 且有奇数个素因数的正整数的数量，且令 E(m) 为小于等于 <=m 且有偶数个素因数的正整数的数量。Pólya (1919) 猜想认为

L(m)=E(m)-O(m)=sum_(n=1)^mlambda(n)

是 <=0，其中 lambda(n) 是刘维尔函数。

该猜想于 1919 年提出，并于 1958 年被 Haselgrove 使用 Ingham (1942) 提出的方法证伪。Lehman (1960) 找到了第一个显式反例 L(906180359)=1，而最小的反例 m=906150257 由 Tanaka (1980) 找到。使得 L(n)=0 的首几个 n 为 n=2, 4, 6, 10, 16, 26, 40, 96, 586, 906150256, ... (Tanaka 1980, OEIS A028488)。目前尚不清楚 L(x) 是否会无限次地改变符号 (Tanaka 1980)。

参见

安德里卡猜想, 刘维尔函数, 素因数

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参考文献

Haselgrove, C. B. "A Disproof of a Conjecture of Pólya." Mathematika 5, 141-145, 1958.Ingham, A. E. "On Two Conjectures in the Theory of Numbers." Amer. J. Math. 64, 313-319, 1942.Lehman, R. S. "On Liouville's Function." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Pólya, G. "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresber. deutschen Math.-Verein. 28, 31-40, 1919.Sloane, N. J. A. Sequence A028488 in "整数数列线上大全."Tanaka, M. "A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function" [sic]. Tokyo J. Math. 3, 187-189, 1980.

引用此文

Weisstein, Eric W. "波利亚猜想." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/PolyaConjecture.html

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