素数因子的和

设 为数字 的素数因子（包括重复项）之和。例如，，所以 。那么 对于 , 2, ... 由 0, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 6, 6, 7, 11, 7, 13, 9, 8, ... (OEIS A001414) 给出。素数因子之和函数也称为整数对数。

最高水位线是 0, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, ...，它们出现在位置 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, ... (OEIS A046022)，除了第一项外，这些位置与最高水位线的实际值完全对应。

如果对于素数 ， 被认为是 0，那么最高水位线的序列是 0, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, ... (OEIS A088685)，它们出现在位置 1, 4, 6, 8, 10, 14, 21, 22, 26, 34, 38, 46, 58, ... (OEIS A088686)。非常令人惊讶的是，如果删除前 7 项，那么最高水位线 的最后一位数字和它们的位置 的最后一位数字会落入四种模式之一 , (3, 2), (5, 6), 或 (9, 4) (A. Jones, 私人通讯，2003 年 10 月 5 日)。

现在考虑迭代 直到达到一个不动点（这将是 0 或一个素数）。例如，20 会给出序列 20, 9, 6, 5, 5, ...。那么对于 , 2, ... 的不动点由 0, 2, 3, 4, 5, 5, 7, 5, 5, 7, 11, 7, 13, ... (OEIS A029908) 给出，相应序列的长度为 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 4, ... (OEIS A002217)。

现在考虑在丢弃初始项后，迭代列表的受限和。例如，20 会给出 。那么小于 的且等于其受限迭代列表之和的数字只有 20、38 和 74。

也可以考虑类似的函数 ，它给出 的不同素数因子的和。对于 , 2, ...，此函数的值为 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, 11, 5, ... (OEIS A008472)。