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三重对数

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TriLogReal
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三重对数 Li_3(z), 有时也表示为 L_3, 是 多重对数 Li_n(z) 在 n=3 时的特殊情况。 请注意，三重对数 Li_3(x) 的符号不幸地与 对数积分 Li(x) 的符号相似。

三重对数在 Wolfram 语言 中实现为PolyLog[3, z].

TriLogReImAbs
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Re
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上图展示了 Li_3(z) 在复平面上的图。

三重对数的功能方程包括

Li_3(z)+Li_3(-z)=1/4Li_3(z^2) Li_3(-z)-Li_3(-z^(-1))=-1/6(lnz)^3-1/6pi^2lnz Li_3(z)+Li_3(1-z)+Li_3(1-z^(-1)) =zeta(3)+1/6(lnz)^3+1/6pi^2lnz-1/2(lnz)^2ln(1-z).
(1)

Li_3(x) 的解析值包括

Li_3(-1)=-3/4zeta(3) Li_3(0)=0 Li_3(1/2)=1/(24)[-2pi^2ln2+4(ln2)^3+21zeta(3)] Li_3(1)=zeta(3) Li_3(phi^(-2))=4/5zeta(3)+2/3(lnphi)^3-2/(15)pi^2lnphi
(2)

其中 zeta(3) 是 Apéry 常数，phi 是黄金比例。

Bailey 等人证明了

(35)/2zeta(3)-pi^2ln2 =36Li_3(1/2)-18Li_3(1/4)-4Li_3(1/8)+Li_3(1/(64)) 2(ln2)^3-7zeta(3) =-24Li_3(1/2)+18Li_3(1/4)+4Li_3(1/8)-Li_3(1/(64)) 10(ln2)^3-2pi^2ln2 =-48Li_3(1/2)+54Li_3(1/4)+12Li_3(1/8)-3Li_3(1/(64)).
(3)

参见

二重对数, 多重对数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bailey, D. H.; Borwein, P. B.; and Plouffe, S. "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants." Math. Comput. 66, 903-913, 1997.Lewin, L. 多重对数和相关函数。 New York: North-Holland, pp. 154-156, 1981.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

三重对数

引用为

Weisstein, Eric W. “三重对数。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Trilogarithm.html

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