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单叶双曲面

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双曲面是一种二次曲面，可以是单叶或双叶的。单叶双曲面是通过绕双曲线的两个焦点之间连线的垂直平分线旋转而获得的旋转曲面 (Hilbert and Cohn-Vossen 1991, p. 11)。

单叶双曲面也可以通过绕空间对角线旋转立方体的包络线获得 (Steinhaus 1999, pp. 171-172)。三条偏斜线总是定义一个单叶双曲面，除非它们都平行于一个平面但不彼此平行 (Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 15)。

HyperboloidWireframe

单叶双曲面可以通过用倾斜的金属丝连接两个同心的垂直偏移环来构造，如上图所示 (Steinhaus 1999, pp. 242-243; Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 11)。令人惊讶的是，当金属丝固定在一起，只允许旋转但不允许滑动时，当一个环相对于另一个环旋转时，框架可以展开和折叠 (Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 16-17 和 29-31)。

Hyperboloid1Sheeted1
Hyperboloid1Sheeted2
Hyperboloid1Sheeted3

单叶圆双曲面是一种双重直纹曲面。当沿z轴定向时，裙部半径为 a 的单叶圆双曲面具有笛卡尔方程

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(a^2)-(z^2)/(c^2)=1,
(1)

和参数方程

x=asqrt(1+u^2)cosv
(2)
y=asqrt(1+u^2)sinv
(3)
z=cu
(4)

对于 v in [0,2pi) (左图)。

一个明显的推广给出了单叶椭圆双曲面。

其他参数化包括

x(u,v)=a(cosu∓vsinu)
(5)
y(u,v)=a(sinu+/-vcosu)
(6)
z(u,v)=+/-cv,
(7)

(中图)，或

x(u,v)=acoshvcosu
(8)
y(u,v)=acoshvsinu
(9)
z(u,v)=csinhv
(10)

(右图)。

第一个参数化的第一基本形式的系数由下式给出

E=c^2+(a^2u^2)/(u^2+1)
(11)
F=0
(12)
G=a^2(u^2+1),
(13)

和第二基本形式的系数由下式给出

e=-(ac)/((1+u^2)sqrt(c^2+(a^2+c^2)u^2))
(14)
f=0
(15)
g=(ac(1+u^2))/(sqrt(c^2+(a^2+c^2)u^2)).
(16)

高斯曲率和平均曲率由下式给出

K(u,v)=-(c^2)/([c^2+(a^2+c^2)u^2]^2)
(17)
H(u,v)=(c^2[a^2(u^2-1)+c^2(u^2+1)])/(2a[c^2+(a^2+c^2)u^2]^(3/2)),
(18)

并且高斯曲率可以隐式地表示为

K(x,y,z)=-(c^6)/((c^4+a^2z^2+c^2z^2)^2).
(19)

半高为 h/2，参数为 a 和 c 的单叶双曲面的表面积因此为

S=2pia[(hsqrt((a^2+c^2)[4c^4+(a^2+c^2)h^2]))/(4c^2)+(c^2sinh^(-1)((hsqrt(a^2+c^2))/(2c^2)))/(sqrt(a^2+c^2))],
(20)

并且体积由下式给出

V=int_(-h/(2c))^(h/(2c))pia^2(u^2+1)(cdu)
(21)
=piha^2(1+(h^2)/(12c^2))
(22)

(Harris and Stocker 1998, p. 112)。令 R 为顶部横截面的半径，得到

R=asqrt(1+(h^2)/(4c^2)),
(23)

因此体积可以重新表示为

V=1/3pih(2a^2+R^2)
(24)

(Harris and Stocker 1998, p. 112)。

单叶双曲面的支撑函数

(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1
(25)

是

h=((x^2)/(a^4)+(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(26)

并且高斯曲率是

K=-(h^4)/(a^2b^2c^2).
(27)

双叶双曲面的支撑函数

(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1
(28)

是

h=((x^2)/(a^4)-(y^2)/(b^4)+(z^2)/(c^4))^(-1/2),
(29)

并且高斯曲率是

K=(h^4)/(a^2b^2c^2)
(30)

(Gray 1997, p. 414)。

另请参阅

双曲面, 双叶双曲面

使用 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 227, 1987.Fischer, G. (Ed.). Plates 67 and 69 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 62 and 64, 1986.Gray, A. "The Hyperboloid of Revolution." §20.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 470, 1997.Harris, J. W. and Stocker, H. "Hyperboloid of Revolution." §4.10.3 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.JavaView. "Classic Surfaces from Differential Geometry: Hyperboloid." http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Hyperboloid.html.Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 112-113, 1991.

在 上引用

单叶双曲面

请引用为

Weisstein, Eric W. "单叶双曲面。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/One-SheetedHyperboloid.html

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