主题
Search

Mertens 函数

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
MertensFunction

Mertens 函数是求和函数

M(n)=sum_(k=1)^nmu(k),
(1)

其中 mu(n) 是 莫比乌斯函数 (Mertens 1897; Havil 2003, p. 208)。 前几个值是 1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1, -2, -2, ... (OEIS A002321)。M(n) 也由 n×n 雷德黑弗矩阵 的 行列式 给出。

对于 n=0, 1, 2, ...，M(10^n) 的值由 1, -1, 1, 2, -23, -48, 212, 1037, 1928, -222, ... 给出 (OEIS A084237; Deléglise 和 Rivat 1996)。

下表总结了对于不同的 k，n 处 M(n)=k 的前几个值

kOEIS使得 M(n)=k 的 n
-313, 19, 20, 30, 33, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 50, ...
-25, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 21, 23, 24, 25, 29, ...
-13, 4, 6, 10, 15, 16, 22, 26, 27, 28, 35, 36, 38, ...
0A0284422, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, ...
1A1186841, 94, 97, 98, 99, 100, 146, 147, 148, 161, ...
295, 96, 217, 229, 335, 336, 339, 340, 345, 347, 348, ...
3218, 223, 224, 225, 227, 228, 341, 342, 343, 344, 346, ...

虽然 Titchmarsh (1960) 表明，如果 黎曼猜想 成立，并且没有重 黎曼 zeta 函数零点，那么存在一个序列 T_k，其中 k<=T_k<=k+1 使得 M(x) 的解析公式尚不为人所知，

M_0(x)=lim_(k->infty)sum_(rho; |gamma|<T_k)(x^rho)/(rhozeta^'(rho))-2 +sum_(n=1)^infty((-1)^(n-1))/((2n)!nzeta(2n+1))((2pi)/x)^(2n),
(2)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函数，

M_0(x)={M(x)-1/2mu(x) if x in Z^+; M(x) otherwise,
(3)

并且 rho=1/2+igamma 遍历黎曼 zeta 函数的所有非平凡零点 (Odlyzko 和 te Riele 1985)。

Mertens 函数与高达 n 的 无平方数 整数的数量有关，这是从 1 到 n 的 mu(k) 绝对值之和，

sum_(k=1)^n|mu(k)|∼6/(pi^2)n+O(sqrt(n)).
(4)

Mertens 函数也服从

sum_(n=1)^xM(x/n)=1
(5)

(Lehman 1960)。

Mertens (1897) 验证了对于 x<10000，|M(x)|<=sqrt(x) 成立，并推测该不等式对于所有非负 x 都成立。 语句

|M(x)|<x^(1/2)
(6)

因此被称为 Mertens 猜想，尽管它后来已被证伪。

Lehman (1960) 给出了一种使用 O(x^(2/3+epsilon)) 运算计算 M(x) 的算法，而 Lagarias-Odlyzko (1987) 用于计算 素数计数函数 pi(x) 的算法可以修改为使用 O(x^(3/5+epsilon)) 运算给出 M(x)。Deléglise 和 Rivat 1996) 描述了一种计算 M(x) 孤立值的基本方法，时间复杂度为 O(x^(2/3)(lnlnx)^(1/3))，空间复杂度为 O(x^(1/3)(lnlnx)^(2/3))。

参见

Mertens 猜想, 莫比乌斯函数, 雷德黑弗矩阵, 无平方数

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996.Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, p. 250, 2004.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 208-210, 2003.Lagarias, J. and Odlyzko, A. "Computing pi(x): An Analytic Method." J. Algorithms 8, 173-191, 1987.Lehman, R. S. "On Liouville's Function." Math. Comput. 14, 311-320, 1960.Lehmer, D. H. Guide to Tables in the Theory of Numbers. Bulletin No. 105. Washington, DC: National Research Council, pp. 7-10, 1941.Mertens, F. "Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie." J. reine angew. Math. 77, 46-62, 1874.Mertens, F. "Über eine zahlentheoretische Funktion." Akad. Wiss. Wien Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. IIa 106, 761-830, 1897.Odlyzko, A. M. and te Riele, H. J. J. "Disproof of the Mertens Conjecture." J. reine angew. Math. 357, 138-160, 1985.Sloane, N. J. A. Sequences A002321/M0102, A028442, A084237, and A118684 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Sterneck, R. D. von. "Empirische Untersuchung über den Verlauf der zahlentheoretischer Function sigma(n)=sum_(x=1)^(n)mu(x) im Intervalle von 0 bis 150 000." Sitzungsber. der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, Math.-Naturwiss. Klasse 2a 106, 835-1024, 1897.Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, 1960.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Mertens 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Mertens 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MertensFunction.html

主题分类