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考夫曼多项式 X

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考夫曼 X-多项式，也称为归一化括号多项式，是一个单变量纽结多项式，用 X (Adams 1994, p. 153), L (Kauffman 1991, p. 33), 或 F (Livingston 1993, p. 219) 表示，并为链环 L 定义为

X_L(A)=(-A^3)^(-w(L))<L>(A),
(1)

其中 <L> 是括号多项式，w(L) 是 L 的扭数 (Kauffman 1991, p. 33; Adams 1994, p. 153)。它在 Wolfram 语言中实现为KnotData[knot,"BracketPolynomial"].

这个多项式在环境同痕下是不变的，并且通过下式关联镜像：

X_(L^*)=XL_L(A^(-1)).
(2)

它与琼斯多项式 V(t) 相同，变量更改为

X(A)=V(A^(-4))
(3)

并且与双变量考夫曼多项式 F 相关，关系如下：

X(A)=F(-A^(-3),A+A^(-1)).
(4)

因此，三叶结的考夫曼 X-多项式为

X(A)=A^(-4)+A^(-12)-A^(-16)
(5)

(Kaufmann 1991, p. 35)。下表总结了命名纽结的多项式。

纽结考夫曼 X-多项式
八字结A^8-A^4+1-A^(-4)+A^(-8)
米勒研究所结A^4-1+2A^(-4)-2A^(-8)+2A^(-12)-2A^(-16)+A^(-20)
佩尔科对A^(-12)+A^(-24)-A^(-28)+A^(-32)-A^(-36)+A^(-40)-A^(-44)
所罗门封印结A^(-8)+A^(-16)-A^(-20)+A^(-24)-A^(-28)
水手结A^8-A^4+2-2A^(-4)+A^(-8)-A^(-12)+A^(-16)
三叶结A^(-4)+A^(-12)-A^(-16)
无结1

参见

括号多项式, 考夫曼多项式 F, 琼斯多项式, 纽结不变量, 纽结多项式

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参考文献

Adams, C. C. 纽结之书：纽结数学理论的入门介绍。 纽约：W. H. Freeman, 1994.Kauffman, L. H. 纽结与物理学。 新加坡：World Scientific, p. 33, 1991.Livingston, C. 纽结理论。 华盛顿特区：Math. Assoc. Amer., 1993.

在 Wolfram|Alpha 上引用

考夫曼多项式 X

请引用为

Weisstein, Eric W. “考夫曼多项式 X。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/KauffmanPolynomialX.html

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