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齐次重心坐标

齐次重心坐标是归一化的重心坐标，使得它们成为子三角形的实际面积。重心坐标被归一化，使得

t_1+t_2+t_3=1,
(1)

使得坐标给出由原始三角形面积归一化的子三角形面积，被称为面积坐标 (Coxeter 1969, p. 218)。重心坐标和面积坐标可以为几何定理提供特别优雅的证明，例如劳斯定理、塞瓦定理和梅涅劳斯定理 (Coxeter 1969, pp. 219-221)。

对应于精确三线坐标 (a^':b^':c^') 的齐次重心坐标是 (t_1,t_2,t_3)，其中

t_1=1/2aa^'
(2)
t_2=1/2bb^'
(3)
t_3=1/2cc^'.
(4)

下表总结了一些常见三角形中心的齐次重心坐标，其中 R 是参考三角形的外接圆半径。

三角形中心齐次重心坐标
外心 O(1/2aRcosA,1/2bRcosB,1/2cRcosC)
内心 I((a^2bc)/(4(a+b+c)R),(ab^2c)/(4(a+b+c)R),(abc^2)/(4(a+b+c)R))
垂心 H(aRcosBcosC,bRcosAcosC,cRcosAcosB)
交径点 K((a^3bc)/(4(a^2+b^2+c^2)R),(ab^3c)/(4(a^2+b^2+c^2)R),(abc^3)/(4(a^2+b^2+c^2)R))
三角形重心 G((abc)/(12R),(abc)/(12R),(abc)/(12R))

另请参阅

面积坐标, 重心坐标, 三线坐标

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参考文献

Coxeter, H. S. M. "重心坐标。" §13.7 in 几何学导论，第二版 纽约: Wiley, pp. 216-221, 1969.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

齐次重心坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "齐次重心坐标。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HomogeneousBarycentricCoordinates.html

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