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劳斯定理

如果一个三角形的边被分割成比例 lambda:1, mu:1, 和 nu:1, 则塞维线构成一个中心三角形，其面积为

A=((lambdamunu-1)^2)/((lambdamu+lambda+1)(munu+mu+1)(nulambda+nu+1))Delta,
(1)

其中 Delta 是原始三角形的面积。对于 lambda=mu=nu=n,

A=((n-1)^2)/(n^2+n+1)Delta.
(2)

对于 n=1, 2, 3, ..., 面积分别为 0, 1/7 (Steinhaus 1999, pp. 8-9), 4/13, 3/7, 16/31, 25/43, ... (OEIS A046162 和 A046163)。

连接每边上的分割点所形成的面积是

A^'=(lambdamunu+1)/((lambda+1)(mu+1)(nu+1))Delta.
(3)

劳斯定理给出了塞瓦定理和梅涅劳斯定理 (lambdamunu=-1) 作为特例。

另请参阅

塞瓦定理, 塞维线, 梅涅劳斯定理

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参考文献

Bottema, O. "On the Area of a Triangle in Barycentric Coordinates." Crux. Math. 8, 228-231, 1982.Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 211-212, 1969.Dudeney, H. E. Amusements in Mathematics. New York: Dover, p. 27, 1970.Klamkin, M. S. and Liu, A. "Three More Proofs of Routh's Theorem." Crux Math. 7, 199-203, 1981.Mikusiński, J. G. "Sur quelques propriétés du triangle." Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska Sect. A 1, 45-50, 1946.Sloane, N. J. A. Sequences A046162 and A046163 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

劳斯定理

请引用为

Weisstein, Eric W. "劳斯定理。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RouthsTheorem.html

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