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六角数

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HexNumber

六角数，也称为中心六边形数，由下式给出

H_n=1+6T_n
(1)
=3n^2+3n+1,
(2)

其中 T_n=n(n+1)/2 是第 n 个三角形数，索引 H_0=1 遵循 Conway 和 Guy (1996) 的用法。前几个六角数，当 n=0, 1, ... 时，为 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, ... (OEIS A003215)。

六角数满足以下递推方程

H_n=2H_(n-1)-H_(n-2)+6.
(3)

六角数的生成函数是

((x^2+4x+1))/((1-x)^3)=1+7x+19x^2+37x^3+....
(4)

六角数与立方数的关系为

sum_(k=0)^nH_k=(n+1)^3.
(5)

这可以直接从 H_n=(n+1)^3-n^3 的事实得出，得到一个伸缩和。

前几个三角形六角数是 1, 91, 8911, 873181, 85562821, ... (OEIS A006244)。这些对应于三角形数和六角数的索引 (m,n)，以及 (T_m,H_n) 的 m=0, 5, 54, 539, 5340, 52865, 523314, 5180279, 51279480, ... (OEIS A087125) 和 n=1, 13, 133, 1321, 13081, 129493, 1281853, ... (OEIS A031138)。这些通过解以下丢番图方程给出

1/2m(m+1)=3n^2+3n+1.
(6)

前几个平方六角数是 1, 169, 32761, 6355441, ... (OEIS A006051)。这些对应于 三角形数和六角数的索引 (m,n)，以及 (S_m,H_n) 的 m=0, 7, 104, 1455, 20272, 282359, 3932760, ... (OEIS A001921) 和 n=1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, 6811741, ... (OEIS A001570)。这些通过解以下丢番图方程给出

n^2=3m^2+3m+1.
(7)

唯一既是平方数又是三角形数的六角数是 1。

不存在立方六角数。

素数六角数有时被称为 Cuban 素数。

另请参阅

中心五边形数, 中心正方形数, 中心三角形数, Cuban 素数, 图形数, 幻方六边形, 星形数, 护身符六边形

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参考文献

Conway, J. H. 和 Guy, R. K. The Book of Numbers. 纽约: Springer-Verlag, p. 41, 1996.Gardner, M. "Hexes and Stars." 第 2 章，Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. 纽约: W. H. Freeman, pp. 15-25, 1988.Hindin, H. "Stars, Hexes, Triangular Numbers, and Pythagorean Triples." J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Sloane, N. J. A. 序列 A001570/M4915, A001921/M4455, A003215/M4362, A006051/M5409, A006244/M5363, A031138 和 A087125，出自 "整数序列在线百科全书"。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

六角数

请引用为

Weisstein, Eric W. "六角数。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HexNumber.html

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