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星数

广义跳棋棋盘（或“中心”六角星形）中的单元格数量。与多边形数不同，星数的情况存在歧义，即 S_0 或 S_1 应该设置为 1，因为定义星数的方程永远不会给出 0。为了与其他图形数保持一致性，所有图形数都定义为 F_1=1，这里也使用该定义，并且 S_n 定义为

S_n=6n(n-1)+1.
(1)

前几个 n=1, 2, ... 的星数是 1, 13, 37, 73, 121, ... (OEIS A003154)，星数的生成函数是

(x(x^2+10x+1))/((1-x)^3)=x+13x^2+37x^3+73x^4+....
(2)

星数满足线性递推方程

S_n=S_(n-1)+12(n-1).
(3)

每个星数的数字根为 1 或 4，最后一位数字必须是 1、3 或 7 之一，最后两位数字必须是 01、13、21、33、37、41、53、61、73、81 或 93 之一。

前几个三角形星数是 1, 253, 49141, 9533161, ... (OEIS A006060)，可以使用以下公式计算

TS_n=(3[(7+4sqrt(3))^(2n-1)+(7-4sqrt(3))^(2n-1)]-10)/(32)
(4)
=194TS_(n-1)+60-TS_(n-2).
(5)

相应的三角形数的索引是 1, 22, 313, 4366, 60817, ... (OEIS A068774)，星数的索引是 1, 7, 91, 1261, 17557, ... (OEIS A068775)。

前几个正方形星数是 1, 121, 11881, 1164241, 114083761, ... (OEIS A006061)。相应的正方形数的索引是 1, 11, 109, 1079, 10681, 105731, 1046629, ... (OEIS A054320)，星数的索引是 1, 5, 45, 441, 4361, 43165, 427285, ... (OEIS A068778)。正方形星数通过求解丢番图方程获得

2x^2+1=3y^2
(6)

并且可以使用以下公式计算

SS_n=([(5+2sqrt(6))^n(sqrt(6)-2)-(5-2sqrt(6))^n(sqrt(6)+2)]^2)/4.
(7)

另请参阅

跳棋, 六边形数, 平方数, 星形, 三角形数

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参考文献

Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, p. 41, 1996.Gardner, M. "Hexes and Stars." Ch. 2 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, pp. 15-24, 1988.Hindin, H. "Stars, Hexes, Triangular Numbers, and Pythagorean Triples." J. Recr. Math. 16, 191-193, 1983-1984.Sloane, N. J. A. Sequences A003154/M4893, A006060/M5425, A006061/M5385, A054320, A068774, A068775, and A068778 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

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星数

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Weisstein, Eric W. "星数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/StarNumber.html

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