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完美长方体

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Brick

完美长方体是指边长、面对角线均为整数的长方体

d_(ab)=sqrt(a^2+b^2)
(1)
d_(ac)=sqrt(a^2+c^2)
(2)
d_(bc)=sqrt(b^2+c^2),
(3)

以及空间对角线也为整数的长方体

d_(abc)=sqrt(a^2+b^2+c^2).
(4)

寻找这种长方体的问题也称为砖块问题、对角线问题、完美盒子问题、完美长方体问题或有理长方体问题。

尽管对所有“奇数边”进行了详尽的搜索，直至 10^(10) (Butler, 私人通讯, 2004 年 12 月 23 日)，但尚未发现完美长方体。

解决完美长方体问题等价于解丢番图方程

A^2+B^2=C^2
(5)
A^2+D^2=E^2
(6)
B^2+D^2=F^2
(7)
B^2+E^2=G^2.
(8)

空间对角线和三个面对角线中的两个为整数的解是 a=672, b=153, 和 c=104, 给出 d_(ab)=3sqrt(52777), d_(ac)=680, d_(bc)=185, 和 d_(abc)=697, 这由欧拉所知。一个解给出整数空间和面对角线，但只有一个非整数多面体边是 a=18720, b=sqrt(211773121), 和 c=7800, 给出 d_(ab)=23711, d_(ac)=20280, d_(bc)=16511, 和 d_(abc)=24961。

另请参阅

长方体, 丢番图方程, 欧拉砖块, 面对角线, 海伦四面体, 海伦三角形, 整数三角形, 空间对角线

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参考文献

Butler, B. "Durango Bill's The 'Integer Brick' Problem (The Euler Brick Problem)." http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html.Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares whose Sums in Pairs are Square. Four Squares whose Differences are Square." §D18 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

完美长方体

引用为

韦斯坦因，埃里克·W. “完美长方体。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PerfectCuboid.html

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