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哥德巴赫猜想

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哥德巴赫最初的猜想（有时称为“三元”哥德巴赫猜想），在 1742 年 6 月 7 日写给欧拉的信中指出，“至少看起来每个大于 2 的数都是三个素数的和”（Goldbach 1742；Dickson 2005, p. 421）。请注意，哥德巴赫认为数字 1 是素数，但这种约定已不再被遵循。正如欧拉重新表达的那样，这个猜想的一个等价形式（称为“强”或“二元”哥德巴赫猜想）断言，所有正偶整数 >=4 都可以表示为两个素数的和。 满足 p+q=2n 的两个素数 (p,q)，其中 n 为正整数，有时被称为哥德巴赫划分 (Oliveira e Silva)。

根据 Hardy (1999, p. 19) 的说法，“做出聪明的猜测相对容易；事实上，有一些定理，比如‘哥德巴赫定理’，从未被证明，任何傻瓜都可能猜到。” Faber and Faber 为在 2000 年 3 月 20 日至 2002 年 3 月 20 日期间证明哥德巴赫猜想的任何人提供了 $1000000 美元的奖金，但该奖金无人认领，猜想仍然悬而未决。

Schnirelman (1939) 证明了每个偶数都可以写成不超过 300000 个素数的和 (Dunham 1990)，这似乎与证明两个素数相去甚远！ Pogorzelski (1977) 声称已经证明了哥德巴赫猜想，但他的证明未被普遍接受 (Shanks 1985)。 下表总结了界限 n，强哥德巴赫猜想已被证明对小于 <n 的数字成立。

界限参考
1×10^4Desboves 1885
1×10^5Pipping 1938
1×10^8Stein and Stein 1965ab
2×10^(10)Granville et al. 1989
4×10^(11)Sinisalo 1993
1×10^(14)Deshouillers et al. 1998
4×10^(14)Richstein 1999, 2001
2×10^(16)Oliveira e Silva (Mar. 24, 2003)
6×10^(16)Oliveira e Silva (Oct. 3, 2003)
2×10^(17)Oliveira e Silva (Feb. 5, 2005)
3×10^(17)Oliveira e Silva (Dec. 30, 2005)
12×10^(17)Oliveira e Silva (Jul. 14, 2008)
4×10^(18)Oliveira e Silva (Apr. 2012)

所有奇数 >=9 都是三个奇素数之和的猜想被称为“弱”哥德巴赫猜想。 Vinogradov (1937ab, 1954) 证明了每个足够大的奇数都是三个素数的和 (Nagell 1951, p. 66; Guy 1994)，Estermann (1938) 证明了几乎所有偶数都是两个素数的和。 Vinogradov 最初的“足够大” N>=3^(3^(15)) approx e^(e^(16.573)) approx 3.25×10^(6846168) 后来被 Chen 和 Wang (1989) 缩小到 e^(e^(11.503)) approx 3.33×10^(43000)。 Chen (1973, 1978) 还表明，所有足够大的偶数都是一个素数和最多两个素数的乘积之和 (Guy 1994, Courant and Robbins 1996)。 在最初的猜想提出两个半多世纪之后，弱哥德巴赫猜想被 Helfgott (2013, 2014) 证明。

弱猜想的一个更强版本，即每个大于等于 >=7 的奇数都可以表示为一个素数加上两倍的素数之和，被称为莱维猜想。

哥德巴赫猜想的一个等价表述是，对于每个正整数 m，都存在素数 p 和 q 使得

phi(p)+phi(q)=2m,

其中 phi(x) 是欧拉函数（例如，Havil 2003, p. 115; Guy 2004, p. 160）。 （这可以立即从素数 p 的 phi(p)=p-1 得出。） Erdős 和 Moser 曾考虑取消此方程中 p 和 q 是素数的限制，作为确定此类数字是否总是存在的可能更简单的方法 (Guy 1994, p. 105)。

哥德巴赫猜想的其他变体包括以下陈述：每个大于等于 >=6 的偶数是两个奇素数的和，每个大于 >17 的整数是恰好三个不同素数的和。

令 R(n) 为偶数 n 表示为两个素数之和的表示数。 那么，“扩展”哥德巴赫猜想指出

R(n)∼2Pi_2product_(k=2; p_k|n)(p_k-1)/(p_k-2)int_2^n(dx)/((lnx)^2),

其中 Pi_2 是孪生素数常数 (Halberstam and Richert 1974)。

参见

陈氏定理, 德波利尼亚克猜想, 哥德巴赫数, 哥德巴赫划分, 莱维猜想, 素数划分, Schnirelmann 定理, 不可及数, Waring 素数猜想

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参考文献

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请引用为

Weisstein, Eric W. "哥德巴赫猜想。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/GoldbachConjecture.html

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