伽罗瓦理论基本定理

对于 伽罗瓦扩张域 和 域 ，伽罗瓦理论基本定理指出，伽罗瓦群 的子群与包含 的 的子域相对应。如果子域 对应于子群 ，那么 在 上的扩张域次数 是 的群的阶，

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假设 ，那么 和 对应于 的子群 和 ，使得 是 的子群。此外， 是 正规子群 当且仅当 是 伽罗瓦扩张域 时成立。由于 可分扩张 的任何子域（伽罗瓦扩张域 必然是可分扩张）也是可分的，因此 是伽罗瓦扩张 当且仅当 是 的正规扩张 时成立。所以正规扩张对应于正规子群。当 是正规子群时，则

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作为 在 上的群作用的商群。

根据基本定理，伽罗瓦群 的子群和包含 的 的子域之间存在一一对应关系。例如，对于上面显示的数域 ， 的自同构（保持 固定）只有单位元、、 和 ，因此这些构成了伽罗瓦群 （由 和 生成）。特别是， 的生成元 和 如下： 将 映射到 ，将 映射到 ，并固定 ； 将 映射到 ，将 映射到 ，并固定 ；并且 将 映射到 ，将 映射到 ，并固定 。

例如，考虑伽罗瓦扩张域

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在 上，它具有六次的扩张域次数。也就是说，它是 rational 数域上的六维向量空间。