正态分布函数

正态分布累积分布函数的标准化形式，表示变量取值在 范围内的概率，

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它与概率积分有关

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通过

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令 ，则 。那么

(4)

这里，erf 是一个有时称为误差函数的函数。正态变量取值在 范围内的概率因此由下式给出

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Phi(z) 和 erf 都不能用有限的加法、减法、乘法和开方运算来表示，因此必须通过数值计算或近似计算。

注意，与 不同的函数有时被定义为“正态”分布函数

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(Feller 1968; Beyer 1987, p. 551)，尽管这个函数不如常用的 常见。 符号 源于 Feller (1971)。

对于给定的概率 ，使得 落在区间 内的 值是一个相关的量，称为置信区间。

对于小值 ， 的良好近似可以从 erf 的麦克劳林级数获得，

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(OEIS A014481)。 对于大值 ，一个好的近似可以从 erf 的渐近级数获得，

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(OEIS A001147)。

中间值 的 值可以使用连分数恒等式计算

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的一个简单近似，精确到两位小数，由下式给出

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Abramowitz 和 Stegun (1972) 以及 Johnson 等人 (1994) 给出了其他函数近似。 Bagby (1995) 给出的一个近似是

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下面的图表显示了 和两个近似值之间的差异。

给出 的 值被称为正态分布变量的概然误差。