Dynkin 图

每个 半单李代数 都由其 Dynkin 图分类。 Dynkin 图是一个 图，具有几种不同类型的可能边。该图的 连通分量 对应于 的不可约子代数。因此，单李代数 的 Dynkin 图只有一个分量。规则是限制性的。事实上，每个分量只有某些可能性，对应于 半单李代数 的分类。

复 李代数 的根在 Cartan 子代数 中的 格 中形成秩 ，其中 是 的 李代数秩。因此，根格 可以被认为是 中的格。Dynkin 图中的顶点或节点是为每个 李代数单根 绘制的，它对应于 根格 的生成元。在两个节点 和 之间，如果单根不垂直，则绘制一条边。如果它们之间的角度为 ，则绘制一条线；如果角度为 ，则绘制两条线；如果角度为 ，则绘制三条线。李代数单根 之间没有其他可能的角度。或者，单根 和 之间的线数 由下式给出

其中 是 Cartan 矩阵 中的一个条目。在 Dynkin 图中，箭头从较长的根指向较短的根（当角度为 或 时）。

上图显示了 的两个单根，角度为 ，在 根格 中。因此， 的 Dynkin 图有两个节点，它们之间有三条线。

以下是可容许 Dynkin 图的一些属性。

1. 通过从可容许图中移除一个节点而获得的图是可容许的。

2. 可容许图没有环。

3. 没有节点连接超过三条线。

4. 仅具有两条单线的节点序列可以折叠以给出可容许图。

5. 唯一具有三条线的连通图有两个节点。

Coxeter-Dynkin 图，也称为 Coxeter 图，与 Dynkin 图相同，只是没有箭头，尽管有时这些也被称为 Dynkin 图。Coxeter 图足以表征代数，这可以通过枚举连通图看出。

从其 Dynkin 图恢复 单李代数 的最简单方法是首先重建其 Cartan 矩阵 。第 个节点和第 个节点由 条线连接。由于 当且仅当 时，否则 ，因此很容易从它们的乘积中找到 和 ，直至顺序。图中的箭头指示哪个更大。例如，如果节点 1 和节点 2 之间有两条线，从节点 1 到节点 2，则 且 。

然而，值得指出的是，每个 单李代数 都可以被具体地构造出来。例如，无限族 、、 和 分别对应于 特殊线性李代数、 奇正交李代数、 辛李代数 和 偶正交李代数。其他单李代数被称为 例外李代数，并且具有与 八元数 相关的构造。