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Killing 形式

Killing 形式是有限维李代数上的一个内积 g 定义为

B(X,Y)=Tr(ad(X)ad(Y))
(1)

在伴随表示中，其中 ad(X) 是 X 的伴随表示。(1) 在以下意义上是伴随不变的

B(ad(X)Y,Z)=-B(Y,ad(X)Z).
(2)

当 g 是半单李代数时，Killing 形式是非退化的。

例如，特殊线性李代数 sl_2(C) 有三个基向量 {X,Y,H}，其中 [X,Y]=2H

X=[ 0 1; 1 0]
(3)
Y=[ 0 -1; 1 0]
(4)
H=[ 1 0; 0 -1].
(5)

其他括号由 [X,H]=2Y 和 [Y,H]=2X 给出。在伴随表示中，对于有序基 {X,Y,H}，这些元素由以下表示

ad(X)=[0 0 0; 0 0 2; 0 2 0]
(6)
ad(Y)=[0 0 -2; 0 0 0; 2 0 0]
(7)
ad(H)=[0 -2 0; -2 0 0; 0 0 0],
(8)

因此 B(u,v)=u^(T)Bv 其中

B=[8 0 0; 0 -8 0; 0 0 8].
(9)

另请参阅

Cartan 矩阵, 内积, Killing 方程, Killing 向量, 李代数, 矩阵符号差, 半单李代数, 特殊线性李代数, 迹形式, Weyl 群

此条目由 Todd Rowland 贡献

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参考文献

Schafer, R. D. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover, pp. 23-26, 1996.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Killing 形式

请引用本文为

Rowland, Todd. "Killing 形式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源，由 Eric W. Weisstein 创建。 https://mathworld.net.cn/KillingForm.html

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