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魏尔斯特拉斯双重级数定理

设所有函数

f_n(z)=sum_(k=0)^inftya_k^((n))(z-z_0)^k
(1)

与 n=0, 1, 2, ..., 至少在 |z-z_0|<r 上是正则的，并且设

F(z)=sum_(n=0)^(infty)f_n(z)
(2)
=[a_0^((0))+a_1^((0))(z-z_0)+...+a_k^((0))(z-z_0)^k+...]+[a_0^((1))+a_1^((1))(z-z_0)+...+a_k^((1))(z-z_0)^k+...]+...+[a_0^((n))+a_1^((n))(z-z_0)+...+a_k^((n))(z-z_0)^k+...]+...
(3)

在 |z-z_0|<=rho<r 上一致收敛，对于每个 rho<r。则任何列中的系数形成一个收敛级数。此外，设置

a_k^((0))+a_k^((1))+...+a_k^((n))+...=sum_(n=0)^inftya_k^((n))=A_k
(4)

对于 k=0, 1, 2, ..., 则有

sum_(k=0)^inftyA_k(z-z_0)^k
(5)

是 幂级数 F(z) 的幂级数，至少在 |z-z_0|<r 上收敛。

参见

双重级数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Knopp, K. 函数论 第一部分和第二部分，两卷合订为一卷，第一部分。 纽约: Dover, p. 83, 1996.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

魏尔斯特拉斯双重级数定理

引用为

Weisstein, Eric W. "魏尔斯特拉斯双重级数定理。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/WeierstrasssDoubleSeriesTheorem.html

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