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多元 Zeta 函数

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多元 zeta 函数，也称为多重 zeta 值、多元 zeta 常数 (Bailey 等人，2006，第 43 页)、多 zeta 值 (Bailey 等人，2006，第 17 页) 以及多元 zeta 值，定义为

zeta(s_1,...,s_k; sigma_1,...,sigma_k)=sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)product_(j=1)^k(sigma_j^(n_j))/(n_j^(s_j))
(1)

(Broadhurst 1996, 1998)。这可以写成更紧凑和方便的形式

zeta(a_1,...,a_k)=sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)product_(j=1)^k([sgn(a_j)]^(n_j))/(n_j^(|a_j|)) =sum_(n_1>n_2>...>n_k>0)([sgn(a_1)]^(n_1)[sgn(a_2)]^(n_2)...[sgn(a_k)]^(n_k))/(n_1^(|a_1|)n_2^(|a_2|)...|n_k|^(|a_k|)).
(2)

(Broadhurst 1996；Bailey 等人，2007，第 38 页)。

符号 a^__k (与 -a_k 相对) 有时也用于表示分子中的因子 1 被相应的因子 (-1)^(n_k) 替换。此外，符号 U(s,t)=zeta(-t,s) 在量子场论中使用。

特别是，对于 k=2，这些对应于通常的欧拉和

zeta(s,t)=sigma_h(t,s)
(3)
zeta(-s,t)=alpha(t,s)
(4)
zeta(s,-t)=-sigma_a(t,s)
(5)
zeta(-s,-t)=-alpha_a(t,s)
(6)

(Broadhurst 1996)。

多元 zeta 函数 (及其导数) 也出现在涉及对数余弦函数的定积分的闭式求值中 (Oloa 2011)。

这些和满足

zeta(a,b)+zeta(b,a)=zeta(a)zeta(b)-zeta(a+b)
(7)

对于 a,b>1，以及

sum_(suma_i=n; a_i>=0)zeta(a_1+2,a_2+1,...,a_r+1)=zeta(n+r+1)
(8)

对于非负整数 n 和 r (Bailey 等人，2007)。这些给出了特殊情况

zeta(3)=zeta(2,1)
(9)
zeta(4)=zeta(3,1)+zeta(2,2)
(10)
zeta(2,1,1)=zeta(4)
(11)

(Bailey 等人，2007)。

另一种特殊情况由下式给出

zeta(3,1_()_(n))=(2pi^(4n))/((4n+2)!)
(12)

(Borwein 和 Bailey 2003，第 26 页；Borwein 等人，2004，第 2 章，例 29)。

其他特殊值包括

zeta(-3,-1)=-1/(12)(ln2)^4+1/2zeta(4)+1/2zeta(2)(ln2)^2-2Li_4(1/2)
(13)
zeta(-2,-1)=3/2zeta(2)ln2-(13)/8zeta(3)
(14)
zeta(-2,1)=1/8zeta(3)
(15)
zeta(2,-1)=zeta(3)-3/2zeta(2)ln2
(16)
zeta(2,1)=zeta(3)
(17)
zeta(2,1,1)=zeta(4)
(18)
zeta(3,1)=1/(360)pi^4
(19)

(Bailey 等人，2007，第 223 和 251 页)。对于所有 zeta(a_1,...,a_k) 且 sum_(k)|a_k|<8 的情况，已知闭式解 (Bailey 等人，2006，第 39 页)。

令人惊讶的是，

zeta(2,1_()_(n))=8^nzeta(-2,1_()_(n)),
(20)

由 J. Borwein 和 D. Broadhurst 于 1996 年发现 (Bailey 等人，2006，第 17 页)。

另请参阅

欧拉和, 对数正弦函数, 多重级数, 四面体真空费曼图

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参考文献

Akiyama, S.; Egami, S.; and Tanigawa, Y. "多重 Zeta 函数的解析延拓及其在非正整数处的值。" Acta Arith. 98, 107-116, 2001.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. "多元 Zeta 常数的计算。" §2.5 in 行动中的实验数学。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 43 and 223-224, 2007.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Kapoor, V.; and Weisstein, E. W. "实验数学中的十个问题。" Amer. Math. Monthly 113, 481-509, 2006.Borwein, J. and Bailey, D. "量子场论。" §2.6 in 实验数学：21世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 58-59, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Ch. 3 in 数学实验：通往发现的计算路径。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Borwein, J. M.; Bradley, D. M.; Broadhurst, D. J.; and Lisonek, P. "多维多对数函数的特殊值。" Trans. Amer. Math. Soc. 353, 907-941, 2001.Broadhurst, D. J. "关于不可约 k 重欧拉和的枚举及其在纽结理论和场论中的作用。" 1996 年 4 月 22 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9604128Broadhurst, D. J. "可约化为单位根六次代数的 SC^* 原语的大质量 3 环费曼图。" 1998 年 3 月 11 日。 http://arxiv.org/abs/hep-th/9803091.Oloa, O. "涉及 MZV 导数的对数余弦积分。" 预印本。 2011 年 4 月 18 日。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

多元 Zeta 函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "多元 Zeta 函数。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MultivariateZetaFunction.html

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