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黎曼 Zeta 函数 zeta(2)

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对于

zeta(2)=sum_(k=1)^infty1/(k^2)
(1)

的值可以使用多种不同的方法找到 (Apostol 1983, Choe 1987, Giesy 1972, Holme 1970, Kimble 1987, Knopp and Schur 1918, Kortram 1996, Matsuoka 1961, Papadimitriou 1973, Simmons 1992, Stark 1969, 1970, Yaglom and Yaglom 1987)。

zeta(2) 因此是不定和的定和版本

H_n^((2))=sum_(k=1)^(n)1/(k^2)
(2)
=zeta(2)-psi_1(n+1),
(3)

其中 H_n^((2)) 是广义调和数（其分子被称为Wolstenholme 数），psi_n(z) 是多伽玛函数。

分析地找到这个值的问题有时被称为巴塞尔问题 (Derbyshire 2004, pp. 63 and 370) 或巴斯勒问题 (Castellanos 1988)。它最初由 Pietro Mengoli 于 1644 年提出 (Derbyshire 2004, p. 370)。解

zeta(2)=(pi^2)/6
(4)

最早由欧拉在 1735 年 (Derbyshire 2004, p. 64) 或 1736 年 (Srivastava 2000) 发现。

Yaglom 和 Yaglom (1987)、Holme (1970) 和 Papadimitriou (1973) 都从棣莫弗恒等式或相关恒等式推导出结果 pi^2/6。

zeta(2) 由级数给出

zeta(2)=3sum_(k=1)^infty1/(k^2(2k; k)).
(5)

(Knopp 1990, pp. 266-267)，可能为欧拉所知，并由 Apéry 重新发现。

Bailey (2000) 和 Borwein 及 Bailey (2003, pp. 128-129) 给出了BBP 型公式的集合，其中包括 zeta(2) 的一些公式，

zeta(2)=(27)/4sum_(k=0)^(infty)1/(64^k)[(16)/((6k+1)^2)-(24)/((6k+2)^2)-8/((6k+3)^2)-6/((6k+4)^2)+1/((6k+5)^2)]
(6)
=4/9sum_(k=0)^(infty)1/(729^k)[(243)/((12k+1)^2)-(405)/((12k+2)^2)-(81)/((12k+4)^4)-(27)/((12k+5)^2)-(72)/((12k+6)^2)-9/((12k+7)^2)-9/((12k+8)^2)-5/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)].
(7)

zeta(2) 由双重级数给出

zeta(2)=sum_(i=1)^inftysum_(j=1)^infty((i-1)!(j-1)!)/((i+j)!)
(8)

(B. Cloitre，私人通信，2004 年 12 月 9 日)。

对于 zeta(2) 的一种推导考虑了 f(x)=x^(2n) 的傅里叶级数

f(x)=1/2a_0+sum_(m=1)^inftya_mcos(mx)+sum_(m=1)^inftyb_msin(mx),
(9)

其系数由下式给出

a_0=(2pi^(2n))/(2n+1)
(10)
a_m=(2pi^(2n))/(2n+1)_1F_2(n+1/2;1/2,n+3/2;-1/4mpi^2)
(11)
b_m=0,
(12)

其中 _1F_2(a;b,c;z) 是广义超几何函数，并且 (12) 成立，因为被积函数是奇函数。因此，傅里叶级数由下式显式给出

x^(2n)=(pi^(2n))/(2n+1)+sum_(m=1)^inftya_mcos(mx).
(13)

如果 n=1，则

a_m=(4(-1)^m)/(m^2),
(14)

因此傅里叶级数是

x^2=(pi^2)/3+4sum_(m=1)^infty((-1)^mcos(mx))/(m^2).
(15)

令 x=pi 得到 cos(mpi)=(-1)^m，因此

pi^2=(pi^2)/3+4sum_(m=1)^infty1/(m^2),
(16)

我们有

zeta(2)=sum_(m=1)^infty1/(m^2)=(pi^2)/6.
(17)

更高阶的 n 可以通过找到 a_m 并如上所述继续进行获得。

也可以简单地使用根线性系数定理找到值 zeta(2)。考虑方程 sinz=0 并在麦克劳林级数中展开 sin

sinz=z-(z^3)/(3!)+(z^5)/(5!)+...=0
(18)
0=1-(z^2)/(3!)+(z^4)/(5!)+...
(19)
=1-w/(3!)+(w^2)/(5!)+...,
(20)

其中 w=z^2。但是 sinz 的零点出现在 z=pi、2pi、3pi、...，或者 w=pi^2、(2pi)^2、...。因此，根的和等于前导项的系数

1/(pi^2)+1/((2pi)^2)+1/((3pi)^2)+...=1/(3!)=1/6,
(21)

可以重新排列得到

zeta(2)=(pi^2)/6.
(22)

另一种推导 (Simmons 1992) 使用 Beukers 的 (1979) 积分评估 zeta(2)

I=int_0^1int_0^1(dxdy)/(1-xy)
(23)
=int_0^1int_0^1(1+xy+x^2y^2+...)dxdy
(24)
=int_0^1[(x+1/2x^2y+1/3x^3y^2+...)]_0^1dy
(25)
=int_0^1(1+1/2y+1/3y^2+...)dy
(26)
=[y+(y^2)/(2^2)+(y^3)/(3^2)+...]_0^1
(27)
=1+1/(2^2)+1/(3^2)+...
(28)
=zeta(2).
(29)

为了评估积分，将坐标系旋转 pi/4，因此

x=ucostheta-vsintheta=1/2sqrt(2)(u-v)
(30)
y=usintheta+vcostheta=1/2sqrt(2)(u+v)
(31)

并且

xy=1/2(u^2-v^2)
(32)
1-xy=1/2(2-u^2+v^2).
(33)

然后

I=4int_0^(sqrt(2)/2)int_0^u(dudv)/(2-u^2+v^2)+4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))int_0^(sqrt(2)-u)(dudv)/(2-u^2+v^2)
(34)
=I_1+I_2.
(35)

现在计算积分 I_1 和 I_2。

I_1=4int_0^(sqrt(2)/2)[int_0^u(dv)/(2-u^2+v^2)]du
(36)
=4int_0^(sqrt(2)/2)[1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(v/(sqrt(2-u^2)))]_0^udu
(37)
=4int_0^(sqrt(2)/2)1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(u/(sqrt(2-u^2)))du.
(38)

进行替换

u=sqrt(2)sintheta
(39)
sqrt(2-u^2)=sqrt(2)costheta
(40)
du=sqrt(2)costhetadtheta,
(41)

因此

tan^(-1)(u/(sqrt(2-u^2)))=tan^(-1)((sqrt(2)sintheta)/(sqrt(2)costheta))=theta
(42)

并且

I_1=4int_0^(pi/6)1/(sqrt(2)costheta)thetasqrt(2)costhetadtheta=(pi^2)/(18).
(43)

I_2 也可以进行解析计算，

I_2=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))[int_0^(sqrt(2)-u)(dv)/(2-u^2+v^2)]du
(44)
=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))[1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)(v/(sqrt(2-u^2)))]_0^(sqrt(2)-u)du
(45)
=4int_(sqrt(2)/2)^(sqrt(2))1/(sqrt(2-u^2))tan^(-1)((sqrt(2)-u)/(sqrt(2-u^2)))du.
(46)

但是

tan^(-1)((sqrt(2)-u)/(sqrt(2-u^2)))=tan^(-1)((sqrt(2)-sqrt(2)sintheta)/(sqrt(2)costheta))
(47)
=tan((1-sintheta)/(costheta))=tan^(-1)((costheta)/(1+sintheta))
(48)
=tan^(-1)[(sin(1/2pi-theta))/(1+cos(1/2pi-theta))]
(49)
=tan^(-1){(2sin[1/2(1/2pi-theta)]cos[1/2(1/2pi-theta)])/(2cos^2[1/2(1/2pi-theta)])}
(50)
=1/2(1/2pi-theta),
(51)

因此

I_2=4int_(pi/6)^(pi/2)1/(sqrt(2)costheta)(1/4pi-1/2theta)sqrt(2)costhetadtheta
(52)
=4[1/4pitheta-1/4theta^2]_(pi/6)^(pi/2)
(53)
=4[((pi^2)/8-(pi^2)/(16))-((pi^2)/(24)-(pi^2)/(144))]=(pi^2)/9.
(54)

结合 I_1 和 I_2 得到

zeta(2)=I_1+I_2=(pi^2)/(18)+(pi^2)/9=(pi^2)/6.
(55)

另请参阅

Apéry 常数, Hadjicostas 公式, 黎曼 Zeta 函数

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Apostol, T. M. "欧拉错过的证明：轻松评估 zeta(2)。" Math. Intel. 5, 59-60, 1983.Bailey, D. H. "数学常数的 BBP 型公式概要。" 2000 年 11 月 28 日。 http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf.Beukers, F. "关于 zeta(2) 和 zeta(3) 的非理性证明。" Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J. 和 Bailey, D. 实验数学：21 世纪的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.Castellanos, D. "无处不在的 Pi。第一部分。" Math. Mag. 61, 67-98, 1988.Choe, B. R. "sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)=(pi^2)/6 的初等证明。" Amer. Math. Monthly 94, 662-663, 1987.Derbyshire, J. 素数迷恋：伯恩哈德·黎曼与数学中最伟大的未解问题。 New York: Penguin, 2004.Giesy, D. P. "又一个 sum1/k^2=pi^2/6 的证明。" Math. Mag. 45, 148-149, 1972.Havil, J. 伽玛：探索欧拉常数。 Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 37-40, 2003.Holme, F. "Ein enkel beregning av sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)。" Nordisk Mat. Tidskr. 18, 91-92 和 120, 1970.Kimble, G. "欧拉的另一个证明。" Math. Mag. 60, 282, 1987.Knopp, K. 无穷级数的理论与应用。 New York: Dover, 1990.Knopp, K. 和 Schur, I. "关于方程 sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)=(pi^2)/6 的推导。" Archiv der Mathematik u. Physik 27, 174-176, 1918.Kortram, R. A. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 和 sinx=xproduct_(k=1)^(infty)(1-(x^2)/(k^2pi^2)) 的简单证明。" Math. Mag. 69, 122-125, 1996.Matsuoka, Y. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的初等证明。" Amer. Math. Monthly 68, 486-487, 1961.Papadimitriou, I. "sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的简单证明。" Amer. Math. Monthly 80, 424-425, 1973.Simmons, G. F. "通过双重积分求欧拉公式 sum_1^(infty)1/n^2=pi^2/6。" Ch. B. 24 in 微积分宝石：简短的人生和难忘的数学。 New York: McGraw-Hill, 1992.Spiess, O. "Die Summe der reziproken Quadratzahlen." In Festschrift zum 60 Geburtstag von Dr. Andreas Speiser (Ed. L. V. Ahlfors et al. ). Zürich: Füssli, pp. 66-86, 1945.Srivastava, H. M. "正整数参数下黎曼 Zeta 函数的评估和表示的一些简单算法。" J. Math. Anal. Appl. 246, 331-351, 2000.Stark, E. L. "公式 sum_(k=1)^(infty)1/(k^2)=(pi^2)/6 的另一个证明。" Amer. Math. Monthly 76, 552-553, 1969.Stark, E. L. "1-1/4+1/9-1/(16)+...=(pi^2)/(12)。" Praxis Math. 12, 1-3, 1970.Wells, D. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 Middlesex, England: Penguin Books, p. 40, 1986.Yaglom, A. M. 和 Yaglom, I. M. 问题 145 in 带初等解的挑战性数学问题，第 2 卷。 New York: Dover, 1987.

在 Wolfram|Alpha 中引用

黎曼 Zeta 函数 zeta(2)

引用为

Weisstein, Eric W. "黎曼 Zeta 函数 zeta(2)。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/RiemannZetaFunctionZeta2.html

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