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戴德金函数

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戴德金 psi-函数由除数乘积定义

psi(n)=nproduct_(p|n)(1+1/p),
(1)

其中乘积是对 product 的 不同素因子 进行的，特殊情况 psi(1)=1。前几个值是

psi(1)=1(1+1/1)
(2)
psi(2)=2(1+1/2)
(3)
psi(3)=3(1+1/3)
(4)
psi(4)=4(1+1/2)
(5)
psi(5)=5(1+1/5)
(6)
psi(6)=6(1+1/2)(1+1/3)
(7)
psi(7)=7(1+1/7)
(8)
psi(8)=8(1+1/2)
(9)
psi(9)=9(1+1/3)
(10)
psi(10)=10(1+1/2)(1+1/5),
(11)

给出 1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, ... (OEIS A001615)。

psi(n) 的和包括

psi(n)=sum_(d|n)n([mu(d)]^2)/d
(12)
=sum_(d|n)dmu(n/d)^2,
(13)

其中 mu(n) 是 Möbius 函数。

Dirichlet 生成函数 由下式给出

sum_(n=1)^(infty)(psi(n))/(n^s)=1/(1^s)+3/(2^s)+4/(3^s)+...
(14)
=(zeta(s)zeta(s-1))/(zeta(2s)),
(15)

其中 zeta(z) 是 Riemann zeta 函数。

另请参阅

戴德金 Eta 函数, 不同素因子, 欧拉乘积, Totient 函数

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参考文献

Cox, D. A. x²+ny² 形式的素数：费马、类域论和复数乘法。 New York: Wiley, p. 228, 1997.Guy, R. K. 数论中未解决的问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, p. 96, 1994.Sloane, N. J. A. Sequence A001615/M2315 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上被引用

戴德金函数

请引用为

Weisstein, Eric W. "戴德金函数。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/DedekindFunction.html

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