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惠特尼伞

WhitneysUmbrella

一种可以解释为三维空间中自相交矩形的曲面。惠特尼伞是从R^2到R^3的映射的唯一稳定奇点。它由参数方程给出

x=uv
(1)
y=u
(2)
z=v^2
(3)

对于u,v in [-1,1]。作为自相交线末端的“加号”形状的中心是一个尖点。第一基本形式的系数是

E=1+v^2
(4)
F=uv
(5)
G=u^2+4v^2,
(6)

并且第二基本形式是

e=0
(7)
f=(2v)/(sqrt(u^2+4v^2+4v^4))
(8)
g=-(2u)/(sqrt(u^2+4v^2+4v^4)),
(9)

给出面积元素

dA=sqrt(u^2+4v^2(1+v^2)),
(10)

以及高斯曲率和平均曲率

K=-(4v^2)/((u^2+4v^2+4v^4)^2)
(11)
H=-(u(1+3v^2))/((u^2+4v^2+4v^4)^(3/2)).
(12)

请注意，由方程给出的直纹三次曲面

x^2-y^2z=0
(13)

是惠特尼伞和射线x=y=0，z<0的并集，称为惠特尼伞的柄。

此条目的部分内容由Margherita Barile贡献

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参考文献

Apéry, F. 实射影平面的模型。 Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 62-63, 1987.Francis, G. K. 拓扑图册。 New York: Springer-Verlag, pp. 8-9, 1987.更新链接Geometry Center. "惠特尼的伞。" http://www.geom.umn.edu/zoo/features/whitney/Gray, A. "惠特尼伞。" 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 311 and 401-402, 1997.

引用为

Barile, Margherita 和 Weisstein, Eric W. "惠特尼伞。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/WhitneyUmbrella.html

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