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克莱布什对角三次曲面

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克莱布什对角三次曲面是一个由以下方程给出的三次代数曲面

x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0,
(1)

并附加约束条件

x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0.
(2)
ClebschDiagonalCubic

通过将无穷远平面取为 x_0+x_1+x_2+x_3/2 获得的隐式方程是

81(x^3+y^3+z^3)-189(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y)+54xyz+126(xy+xz+yz)-9(x^2+y^2+z^2)-9(x+y+z)+1=0
(3)

(Hunt 1996)，如上图所示。

在克莱布什对角曲面上，一般光滑三次曲面上存在的所有 27 条复线（所罗门封印线）都是实线。此外，曲面上还有 10 个点，其中 3 条 27 线相交。这些点被称为埃卡特点（Fischer 1986ab，Hunt 1996），克莱布什对角曲面是唯一包含 10 个此类点的三次曲面（Hunt 1996）。

如果丢弃描述克莱布什对角曲面的变量之一，留下方程

x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3=0
(4)
x_0+x_1+x_2+x_3=0,
(5)

则方程退化为由以下方程给出的两个相交平面

(x+y)(x+z)(y+z)=0.
(6)

参见

三次曲面, 埃卡特点

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参考文献

Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 9-11, 1986a.Fischer, G. (Ed.). Plates 10-12 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 13-15, 1986b.Hunt, B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. New York: Springer-Verlag, pp. 122-128, 1996.Nordstrand, T. "Clebsch Diagonal Surface." http://jalape.no/math/clebtxt.Yode. "How to Plot Clebsch Surface with those 27 Lines?" Feb. 1, 2023. https://mathematica.stackexchange.com/questions/279405/how-to-plot-clebsch-surface-with-those-27-lines#comment697874_279420.

请引用为

Weisstein, Eric W. "克莱布什对角三次曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ClebschDiagonalCubic.html

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