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凯莱三次曲面

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CayleyCubic
CayleyCubic2

凯莱三次曲面是唯一具有四个寻常二重点的三次曲面（Hunt），这是三次曲面的最大可能值（Endraß）。凯莱三次曲面在四面体群下是不变的，并且恰好包含九条线，其中六条成对连接四个节点，另外三条是共面的（Endraß）。

如果射影三空间中的寻常二重点被取为 (1, 0, 0, 0)、(0, 1, 0, 0)、(0, 0, 1, 0)、(0, 0, 0, 1)，则曲面在射影坐标中的方程为

1/(x_0)+1/(x_1)+1/(x_2)+1/(x_3)=0
(1)

(Hunt)。定义“仿射”坐标，无穷远平面为 v=x_0+x_1+x_2+2x_3 和

x=(x_0)/v
(2)
y=(x_1)/v
(3)
z=(x_2)/v
(4)

然后给出方程

-5(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2y+z^2x)+2(xy+xz+yz)=0
(5)

在左图中绘制（Hunt）。Endraß (2003) 给出了略有不同的形式

4(x^3+y^3+z^3+w^3)-(x+y+z+w)^3=0
(6)

当以 四面体坐标 重写时，变为

x^2+y^2-x^2z+y^2z+z^2-1=0,
(7)

在右图中绘制。

CayleyCubicHessian

凯莱三次曲面的黑塞矩阵由下式给出

0=x_0^2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+x_1^2(x_0x_2+x_0x_3+x_2x_3) +x_2^2(x_0x_1+x_0x_3+x_1x_3)+x_3^2(x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2)
(8)

在齐次坐标 x_0, x_1, x_2, 和 x_3 中。将无穷远平面取为 v=5(x_0+x_1+x_2+2x_3)/2 并设置 x, y, 和 z 如上所示，给出方程

25[x^3(y+z)+y^3(x+z)+z^3(x+y)]+50(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2) -125(x^2yz+y^2xz+z^2xy)+60xyz-4(xy+xz+yz)=0,
(9)

如上图所示绘制（Hunt）。凯莱三次曲面的黑塞矩阵有 14 个寻常二重点，比光滑三次曲面的一般黑塞矩阵多四个（Hunt）。

另请参阅

凯莱曲面

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参考文献

Endraß, S. "Flächen mit vielen Doppelpunkten." DMV-Mitteilungen 4, 17-20, 1995 年 4 月。Endraß, S. "The Cayley Cubic." 2003 年 2 月 6 日。 http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/docs/Ecayley.shtml。Fischer, G. (Ed.). Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Kommentarband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 14, 1986.Fischer, G. (Ed.). Plate 33 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 33, 1986.Hunt, B. "Some Beautiful Algebraic Surfaces." http://www.mathematik.uni-kl.de/~hunt/drawings.html。Hunt, B. The Geometry of Some Special Arithmetic Quotients. New York: Springer-Verlag, pp. 115-122, 1996.Nordstrand, T. "The Cayley Cubic." http://jalape.no/math/cleytxt。

请引用为

Weisstein, Eric W. "凯莱三次曲面。" 来自 MathWorld-- Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CayleyCubic.html

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