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丁-东曲面

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Ding-DongSurface

丁-东曲面是由以下方程给出的三次 旋转曲面

x^2+y^2=(1-z)z^2
(1)

(Hauser 2003) 它与亲吻曲面密切相关。

该曲面可以用参数形式表示为

x(u,v)=avsqrt(1-v)cosu
(2)
y(u,v)=avsqrt(1-v)sinu
(3)
z(u,v)=av
(4)

对于 u 在 [0,2pi) 中 和 v 在 (-infty,1) 中。 在此参数化中，第一基本形式的系数为

E=a^2v^2(1-v)
(5)
F=0
(6)
G=a^2(8+(9v-16)v)/(4(1-v))
(7)

和第二基本形式的系数为

e=(2a(v-1)|v|)/(sqrt((9v-16)v+8))
(8)
f=0
(9)
g=((4-3v)asgn(v))/(2(v-1)sqrt((9v-16)v+8)).
(10)

高斯曲率和平均曲率由下式给出

K=(4(4-3v))/(a^2v[8+v(9v-16)]^2)
(11)
H=-(2[4+3(v-2)v]|v|)/(av^2[8+v(9v-16)]^(3/2)).
(12)

高斯曲率可以隐式地由下式给出

K(x,y,z)=-(4(-4+3z))/(z(8-16z+9z^2)^2).
(13)

上半泪滴所包围的表面积和体积为

S=1/(243)pia^2[21+48sqrt(2)+16ln2+64ln(1+sqrt(2))]
(14)
V=1/(12)pia^3.
(15)

它的质心在 (0,0,3/5a)，惯性张量为

I=[3/7Ma^2 0 0; 0 3/7Ma^2 0; 0 0 2/(35)Ma^2]
(16)

对于具有均匀密度和质量 M 的实心泪滴。

另请参阅

三次曲面, 亲吻曲面, 梨形曲线, 泪滴曲线

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参考文献

Hauser, H. "奇异代数曲面画廊：丁东。" https://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/gallery.html.Hauser, H. "广中定理关于奇点解消（或者：我们一直想理解的证明）。" Bull. Amer. Math. Soc. 40, 323-403, 2003.

请引用为

Weisstein, Eric W. "丁-东曲面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Ding-DongSurface.html

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