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约当引理

约当引理显示了 积分 的值

I=int_(-infty)^inftyf(x)e^(iax)dx
(1)

沿着无穷上半半圆，且当 a>0 时，对于满足 lim_(R->infty)|f(Re^(itheta))|=0 的“好的”函数，积分为 0。因此，沿实轴的积分仅仅是围道内复残数的和。

该引理可以使用满足以下条件的围道积分 I_R 建立：

lim_(R->infty)|I_R|<=pi/alim_(R->infty)epsilon=0.
(2)

为了推导引理，写出

x=Re^(itheta)
(3)
=R(costheta+isintheta)
(4)
dx=iRe^(itheta)dtheta,
(5)

并定义围道积分

I_R=int_0^pif(Re^(itheta))e^(iaRcostheta-aRsintheta)iRe^(itheta)dtheta
(6)

然后

|I_R|<=Rint_0^pi|f(Re^(itheta))||e^(iaRcostheta)||e^(-aRsintheta)||i||e^(itheta)|dtheta
(7)
=Rint_0^pi|f(Re^(itheta))|e^(-aRsintheta)dtheta
(8)
=2Rint_0^(pi/2)|f(Re^(itheta))|e^(-aRsintheta)dtheta.
(9)

现在，如果 lim_(R->infty)|f(Re^(itheta))|=0，选择一个 epsilon 使得 |f(Re^(itheta))|<=epsilon，因此

|I_R|<=2Repsilonint_0^(pi/2)e^(-aRsintheta)dtheta.
(10)

但是，对于 theta in [0,pi/2]，

2/pitheta<=sintheta,
(11)

所以

|I_R|<=2Repsilonint_0^(pi/2)e^(-2aRtheta/pi)dtheta
(12)
=2epsilonR(1-e^(-aR))/((2aR)/pi)
(13)
=(piepsilon)/a(1-e^(-aR)).
(14)

只要 lim_(R->infty)|f(z)|=0，约当引理

lim_(R->infty)|I_R|<=pi/alim_(R->infty)epsilon=0
(15)

就成立。

参见

围道积分

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 406-408, 1985.Jordan, C. Cours d'Analyse de l'Ecole polytechnique, Tome 2, 3. éd., rev. et corrigé. Paris: Gauthier-Villars, pp. 285-86, 1909-1915.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. "Jordan's Lemma." §6.222 in A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 115-117, 1990.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

约当引理

引用为

Weisstein, Eric W. "Jordan's Lemma." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/JordansLemma.html

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