如果 
在某个单连通区域 
内是解析的，则
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(1)
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对于任何闭合轮廓 
，该轮廓完全包含于 
。将 
写作
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(2)
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以及将 
写作
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(3)
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则得到
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(4)
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(5)
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根据格林定理，
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(6)
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(7)
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因此 (◇) 变为
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(8)
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但是 Cauchy-Riemann 方程 要求
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(9)
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(10)
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因此
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(11)
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对于一个多连通区域，
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(12)
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柯西积分定理
另请参阅
幅角原理, 柯西积分公式, 路径积分, Morera 定理, 残数定理使用 Wolfram|Alpha 探索
参考资料
Arfken, G. "柯西积分定理。" §6.3 in 物理学家数学方法，第 3 版 Orlando, FL: Academic Press, pp. 365-371, 1985.Kaplan, W. "Integrals of Analytic Functions. Cauchy Integral Theorem." §9.8 in 高等微积分，第 4 版 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 594-598, 1991.Knopp, K. "Cauchy's Integral Theorem." Ch. 4 in 函数论第一部和第二部，合订为一卷，第一部。 New York: Dover, pp. 47-60, 1996.Krantz, S. G. "The Cauchy Integral Theorem and Formula." §2.3 in 复变量手册。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 26-29, 1999.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理学方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 363-367, 1953.Woods, F. S. "Integral of a Complex Function." §145 in 高等微积分：为应用数学专业学生的需求而特别安排的课程。 Boston, MA: Ginn, pp. 351-352, 1926.在 Wolfram|Alpha 中被引用
柯西积分定理引用为
Weisstein, Eric W. "柯西积分定理。" 来自 MathWorld——一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/CauchyIntegralTheorem.html