内-外定理

设 和 是复变量 的单变量多项式，且 多项式次数 满足 和 满足 。则

			(1)
			(2)

其中 是一个简单的闭合顺时针方向的轮廓， 是 在 内部的根的集合， 是 在 外部的根的集合。

第一个等式是留数定理的一个实例。在黎曼球面上，简单的闭合轮廓 将球面分成两个区域。在变量替换 之后，零点被映射到无穷远，反之亦然。 的“内部”在新坐标中变成了 的外部。第二个等式是应用于亚纯一形式 在坐标 上的留数定理，带有一个负号，因为在坐标变换后， 沿顺时针方向移动。 和 的度数假设确保 在 处没有极点。

上图显示了在黎曼球面上轮廓 和亚纯一形式 的极点的两种不同视角。通常的视角以 为中心，但从 的视角来看，内部和外部的角色被切换了。内部的极点标记为蓝色，外部的极点标记为绿色。

该定理也来自在无穷远处的轮廓积分，即一个大半径 的圆。关于度数的假设表明，这个积分趋于零。因此它实际上必须为零，因为在某个点，圆包含了 的所有极点。这是在紧致 黎曼曲面（在本例中为黎曼球面）上，亚纯一形式的复留数之和为零这一事实的特殊情况。