闭合形式解

如果一个方程可以用来自一个普遍接受的集合中的函数和数学运算来解决给定的问题，那么它就被称为闭合形式解。例如，无限求和通常不被认为是闭合形式。然而，对于什么称为闭合形式，什么不称为闭合形式的选择是相当随意的，因为一个新的“闭合形式”函数可以简单地根据无限求和来定义。

由于上述定义的缺乏具体性，数学的不同分支经常采用更精确的闭合形式术语的含义，以应用于其中的概念。例如，在微分代数中，如果一个函数包含在某个所谓的刘维尔扩张域（Liouvillian extension field）中，并且该域是域 的扩张域，那么该函数就被称为闭合形式的。也就是说，如果它们是通过对指数函数、不定积分和代数函数的有限序列的邻接从有理函数获得的（Churchill and Kovacic 2006）。这些函数也被称为刘维尔函数（Liouvillian）（尽管不要与刘维尔函数（Liouville function）混淆），以及更不幸的术语“初等函数”。

值得注意的是，形容词“闭合”用于描述许多数学概念，例如，闭合形式的概念。 粗略地说，如果一个离散函数与超几何函数共享某些基本属性，那么它就是闭合形式的，超几何函数本身被定义为所谓的超几何微分方程的解。这种特殊的闭合性概念与上面讨论的闭合形式表达式的概念完全不同。 特别是，超几何函数（以及因此，任何继承其属性的闭合形式函数）被认为是“特殊函数”，并且不能用通常被视为“初等”的运算来表示。 更重要的是，某些公认的真理，例如五次方程不可解，如果将考虑范围扩展到包括超几何函数的一类函数，则不再成立，这是克莱因（Klein，1877）得出的结果。