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梅尔格良定理

梅尔格良定理可以表述如下 (Krantz 1999)。令 K subset= C 为紧集，并假设 C^*\K 只有有限个连通分量。 如果 f in C(K) 在 K 的内部是全纯的，并且如果 epsilon>0，那么存在一个 有理函数 r(z) ，其极点在 C^*\K 中，使得

max_(z in K)|f(z)-r(z)|<epsilon.
(1)

一个结果是，如果 P={D_1,D_2,...} 是一个不相交 开圆盘 D_n 的无限集合，半径为 r_n ，使得它们的并集几乎是单位 圆盘。 那么

sum_(n=1)^inftyr_n=infty.
(2)

定义

M_x(P)=sum_(n=1)^inftyr_n^x.
(3)

那么存在一个数 e(P) 使得 M_x(P) 在 x<e(P) 时发散，在 x>e(P) 时收敛。上述定理给出

1<e(P)<2.
(4)

存在一个常数可以改进这个不等式，而目前已知的最佳值是

S=1.306951....
(5)

另请参阅

Runge 定理

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Krantz, S. G. "梅尔格良定理。" §11.2 in 复变量手册。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 146-147, 1999.Le Lionnais, F. 卓越数。 Paris: Hermann, pp. 36-37, 1983.Mandelbrot, B. B. 分形。 San Francisco, CA: W. H. Freeman, p. 187, 1977.Melzack, Z. A. "关于圆的实体堆积常数。" Math. Comput. 23, 1969.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

梅尔格良定理

引用为

Weisstein, Eric W. "梅尔格良定理。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/MergelyansTheorem.html

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