混沌

“混沌”是一个难以定义的概念。事实上，列举一个被描述为“混沌”的系统所具有的性质，比给出一个精确的混沌定义要容易得多。

格莱克（Gleick，1988年，第306页）指出，“（他采访的混沌科学家中）没有人能够完全就这个词[的定义]达成一致”，因此他给出了一些该领域从业者的描述。例如，他引用菲利普·霍姆斯（Philip Holmes）（显然是在定义“混沌”）的话说，“某些，通常是低维动力系统的复杂非周期吸引轨道”。同样，他引用郝柏林（Bai-Lin Hao）对混沌（大致）的描述为“一种没有周期性的秩序”。

事实证明，即使是专门讨论混沌的教科书也没有真正定义这个术语。例如，威金斯（Wiggins，1990年，第437页）说，“在一个闭合不变集（由多个轨道组成）上显示对初始条件敏感依赖性的动力系统将被称为混沌的”。塔博尔（Tabor，1989年，第34页）说，“对于确定性方程的混沌解，我们指的是其结果对初始条件非常敏感（即，初始条件的微小变化会导致结果的巨大差异），并且其在相空间中的演化看起来非常随机的解。” 最后，拉斯班德（Rasband，1990年，第1页）说，“‘混沌’这个词的使用意味着对系统的某些观察，可能是通过测量，并且这些观察或测量结果不可预测地变化。当没有可辨别的规律或秩序时，我们通常说观察是混沌的。”

因此，描述混沌的一种简单但略有不精确的方式是“混沌系统的特点是对初始条件的敏感依赖性以及在相空间中的演化看起来非常随机”。

特别地，一个混沌动力系统通常具有以下特征：

1. 具有一个稠密的具有周期轨道的点集，

2. 对系统的初始条件敏感（因此最初邻近的点可以快速演变成非常不同的状态），这种性质有时被称为蝴蝶效应，以及

3. 是拓扑传递的。

然而，应该注意的是，尽管混沌看起来“随机”，但它是一种确定性的演化。此外，存在没有周期轨道的混沌系统（周期轨道仅在KAM环面的边界上存在，并且对于来自可积情况的足够强烈的扰动，岛屿不一定存在）。此外，在所谓的量子混沌中，轨迹不会指数发散，因为它们受到整个演化必须是幺正的这一事实的约束。

规则行为和混沌行为之间的边界通常以倍周期分岔为特征，然后是四倍周期分岔等等，尽管也可能存在其他通往混沌的路径（Abarbanel et al. 1993; Hilborn 1994; Strogatz 1994, pp. 363-365）。

一个显示混沌行为的简单物理系统的例子是磁摆在一个包含两个或多个吸引磁铁的平面上的运动。摆最终静止在哪个磁铁上方（由于摩擦阻尼）高度依赖于摆的起始位置和速度（Dickau）。另一个这样的系统是双摆（一个末端连接另一个摆的摆）。

M. 塔博尔（Tabor）和F. 卡洛杰罗（Calogero）提倡将混沌解释为在黎曼曲面上的运动（Tabor and Weiss 1981, Fournier et al. 1988, Bountis et al. 1993, Bountis 1995）。