柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽定理

柯尔莫哥洛夫 (1954) 概述的一个定理，随后在 1960 年代由阿诺尔德 (1963) 和莫泽 (1962；Tabor 1989，第 105 页) 证明。它给出了混沌在何种程度上受到限制的条件。莫泽 1962 年的证明对扭转映射有效

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阿诺尔德 (1963) 给出了哈密顿系统的证明

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最初的定理要求微扰 ，尽管此后这一数值已显著提高。阿诺尔德的证明要求 ，而莫泽最初的证明要求 。随后，莫泽的版本已降至 ，然后是 ，尽管已知 的反例。KAM 定理的适用条件是

1. 小微扰，

2. 光滑微扰，以及

3. 充分无理的映射绕数。

莫泽考虑了一个可积哈密顿函数 ，它具有环面 和一组频率 ，omega 具有不可公度的频率向量 (即，对于所有整数 ，)。设 受到某个周期函数 的微扰。KAM 定理指出，如果 足够小，那么对于几乎每个 ，都存在受扰系统的不变环面 ，使得 “接近” 。此外，环面 形成一个正测度集，其补集的测度随着 趋于零。KAM 定理的一个有用的解释是：“对于足够小的微扰，几乎所有环面（排除那些具有有理频率向量的环面）都得以保留。” 因此，该定理明确排除了具有有理相关频率的环面，即，n-1 个形式的条件

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这些环面会被微扰破坏。对于具有两个自由度的系统，闭合轨道的条件是

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对于准周期映射轨道， 是无理数。KAM 表明，保留的环面满足无理数条件

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对于所有 和 ，尽管关于 知之甚少。

KAM 定理打破了经典微扰理论中小除数问题的僵局，并为理解混沌的出现提供了起点。对于哈密顿系统，等能非退化条件

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保证了在小微扰 下大多数不变环面的保留。阿诺尔德版本指出

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对于所有 属于 Z。此条件比莫泽的条件限制性更小，因此排除的点更少。