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正方锥数

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SquarePyramidalNumber

一种有形数 的形式

P_n^((4))=1/6n(n+1)(2n+1),
(1)

对应于形成正方锥体的点的构型，称为正方锥数（或有时，简称为锥数）。前几个是 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, ... (OEIS A000330)。正方锥数的生成函数是

(x(x+1))/((x-1)^4)=x+5x^2+14x^3+30x^4+....
(2)

正方锥数是连续的四面体数对之和，并满足

P_n=1/3(2n+1)T_n,
(3)

其中 T_n 是第 n 个三角形数。

唯一同时是平方数 S_m=m^2 和正方锥数 P_n=n(n+1)(2n+1)/6 （炮弹问题）的数是 P_1=1 和 P_(24)=4900，对应于 S_1=1 和 S_(70)=4900 (Ball and Coxeter 1987, p. 59; Ogilvy 1988; Dickson 2005, p. 25)，正如 Lucas (1875) 所猜想的，Moret-Blanc (1876) 和 Lucas (1877) 部分证明，以及 Watson (1918) 证明的。这个问题需要解丢番图方程

m^2=1/6n(n+1)(2n+1)
(4)

(Guy 1994, p. 147)。Watson (1918) 给出了一个几乎是初等的证明，通过初等方法处理了大多数情况，但对于一个棘手的情况，他求助于椭圆函数的使用。Ma (1985) 和 Anglin (1990) 给出了完全初等的证明。

同时是三角形数 T_m=m(m+1)/2 和正方锥数 P_n=n(n+1)(2n+1)/6 的数满足丢番图方程

1/2m(m+1)=1/6n(n+1)(2n+1).
(5)

配方得到

1/2(m+1/2)^2-1/8=1/6(2n^3+3n^2+n)
(6)
1/8(2m+1)^2=1/6(2n^3+3n^2+n)+1/8
(7)
3(2m+1)^2=8n^3+12n^2+4n+3.
(8)

唯一的解是 (n,m)=(-1,0), (0, 0), (1, 1), (5, 10), (6, 13), 和 (85, 645) (Guy 1994, p. 147)，对应于非平凡的三角形正方锥数 1, 55, 91, 208335。

同时是四面体数 Te_m=m(m+1)(m+2)/6 和正方锥数 P_n=n(n+1)(2n+1)/6 的数满足丢番图方程

m(m+1)(m+2)=n(n+1)(2n+1).
(9)

Beukers (1988) 研究了通过椭圆曲线上的整点寻找解的问题，并发现唯一的解是平凡的 Te_1=P_1=1。

另请参阅

锥数, 四面体数

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参考文献

Anglin, W. S. "The Square Pyramid Puzzle." 美国数学月刊 97, 120-124, 1990.Anglin, W. S. The Queen of Mathematics: An Introduction to Number Theory. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 1995.Baker, A. and Davenport, H. "The Equations 3x^2-2=y^2 and 8x^2-7=z^2." 数学季刊，第二辑 20, 129-137, 1969.Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 59, 1987.Beukers, F. "On Oranges and Integral Points on Certain Plane Cubic Curves." Nieuw Arch. Wisk. 6, 203-210, 1988.Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 47-50, 1996.Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.Guy, R. K. "Figurate Numbers." §D3 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 147-150, 1994.Kanagasabapathy, P. and Ponnudurai, T. "The Simultaneous Diophantine Equations y^2-3x^2=-2 and z^2-8x^2=-7." 数学季刊，第二辑 26, 275-278, 1975.Ljunggren, W. "New Solution of a Problem Posed by E. Lucas." 北欧数学杂志 34, 65-72, 1952.Lucas, É. Question 1180. Nouv. Ann. Math. Ser. 2 14, 336, 1875.Lucas, É. Solution de Question 1180. Nouv. Ann. Math. Ser. 2 15, 429-432, 1877.Ma, D. G. "An Elementary Proof of the Solution to the Diophantine Equation 6y^2=x(x+1)(2x+1)." 四川大学学报 4, 107-116, 1985.Moret-Blanc, M. Question 1180. Nouv. Ann. Math. Ser. 2 15, 46-48, 1876.Ogilvy, C. S. and Anderson, J. T. Excursions in Number Theory. New York: Dover, pp. 77 and 152, 1988.Sloane, N. J. A. Sequence A000330/M3844 in "整数序列在线百科全书"。Watson, G. N. "The Problem of the Square Pyramid." Messenger. Math. 48, 1-22, 1918.Wolf, T. "The 70^2 Puzzle." http://home.tiscalinet.ch/t_wolf/tw/misc/squares.html.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

正方锥数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Square Pyramidal Number." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SquarePyramidalNumber.html

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