正方棱锥

正方棱锥是以正方形为底面的棱锥。它是一个五面体。

直立正方棱锥的侧棱长 和斜高 ，底边边长为 ，高度为 ，分别为

相应的表面积和体积为

在特殊情况 下，正方棱锥的体积可以立即从上面所示的立方体解剖中找到，得到

如果正方棱锥的四个三角形面是等边三角形，使得正方棱锥的所有棱长都相等，那么这个直立正方棱锥是被称为约翰逊多面体 的多面体。

棱长为 的正方棱锥 的高度为

因此，侧棱长和斜高为

因此，表面积和体积为

考虑将一个半球放置在正方棱锥的底面上（底边长 ，高 ）。此外，假设半球与四个顶点棱线相切。那么，位于棱锥内部的半球体积是多少 (Cipra 1993)？

从图 (a) 中，底面的外接圆半径为 。图 (b) 显示了穿过棱锥顶点、底面顶点之一和底面中心的平面的横截面。该图给出

因此，斜高为

解出 得到

但是，我们知道半球必须与各面相切，所以 ，并且

图 (c) 显示了穿过中心、顶点和对边中点的横截面。《勾股定理》再次给出

我们现在需要求出 和 。

但是我们知道 和 ，并且 由下式给出

因此

解得

因此

我们现在可以求出球冠的体积为

其中

因此

因此，棱锥内部的体积为

这个问题出现在日本学力倾向测验中 (Cipra 1993)。