短正合序列

群 , , 和 的短正合序列由两个映射 和 给出，并记为

(1)

因为它是一个正合序列， 是单射，并且 是满射。此外，群核 是 的像。因此，群 可以被视为 的（正规）子群，而 同构于 。

如果存在一个映射 使得 是 上的恒等映射，则称短正合序列分裂。这仅当 是 和 的直积时发生。

短正合序列的概念也适用于模和层。给定一个单位环 上的模 ，所有短正合序列

(2)

是分裂的 当且仅当 是射影的，并且所有短正合序列

(3)

是分裂的 当且仅当 是内射的。

向量空间的短正合序列总是分裂的。