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艾森斯坦整数

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艾森斯坦整数，有时也称为艾森斯坦-雅可比整数（Finch 2003，p. 601），是形如 a+bomega 的数，其中 a 和 b 是普通整数，

omega=1/2(-1+isqrt(3))
(1)

是 根 之一，方程为 z^3=1，其余的根为 1 和

omega^2=1/2(-1-isqrt(3)).
(2)

艾森斯坦整数的和、差和积仍然是艾森斯坦整数。

艾森斯坦整数是复数，属于 虚二次域 Q(sqrt(-3))，它恰好是 环 Z[omega] (Wagon 1991, p. 320)。艾森斯坦整数域有六个单位（或单位根），即 +/-1、 +/-omega 和 +/-omega^2 (Wagon 1991, p. 320; Guy 1994, p. 35)。

EisensteinIntegers

每个非零艾森斯坦整数都有唯一的（直到排序）因式分解，直到相伴，其中相伴是通过在 复平面 中旋转 60 degrees 的倍数与给定艾森斯坦整数相关的艾森斯坦整数。具体来说，任何 非零 艾森斯坦整数都是 -1、 omega 和“正”艾森斯坦素数的 幂 的乘积，其中“正”艾森斯坦整数是落在上面所示三角形楔形内的那些（Conway 和 Guy 1996）。

艾森斯坦整数的 费马定理 的类似物是，一个 素数 p 可以写成以下形式

a^2-ab+b^2=(a+bomega)(a+bomega^2)
(3)

当且仅当 3p+1 时。这些恰好是 形如 素数 3m^2+n^2 (Conway 和 Guy 1996)。

每个艾森斯坦整数都在某个给定艾森斯坦整数 n 的某个倍数的 |n|/sqrt(3) 距离之内。

Dörrie (1965) 使用了另一种符号

J=1/2(1+isqrt(3))
(4)
O=1/2(1-isqrt(3)).
(5)

对于 -omega^2 和 -omega，并将 形如 aJ+bO 的数称为 G-数。 O 和 J 满足

J+O=1
(6)
JO=1
(7)
J^2+O=0
(8)
O^2+J=0
(9)
J^3=-1
(10)
O^3=-1.
(11)

另请参阅

艾森斯坦素数, 艾森斯坦单位, 高斯整数, 整数

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参考文献

Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, p. 88, 2003.Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 220-223, 1996.Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.Dörrie, H. "The Fermat-Gauss Impossibility Theorem." §21 in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover, pp. 96-104, 1965.Finch, S. R. Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "The Integers of k(rho)." §12.9 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, pp. 187-189, 1979.Riesel, H. Appendix 4 in Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, 1994.Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

在 Wolfram|Alpha 上引用

艾森斯坦整数

请引用为

Weisstein, Eric W. "艾森斯坦整数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EisensteinInteger.html

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