随机漫步--二维

在一个平面内，考虑 个具有随机方向的二维向量的和。使用相量表示法，并令每个向量的相位为随机的。假设在任意方向上采取 个单位步长（即，角度 在 内均匀分布，而非在格点上），如上图所示。在 步之后，复平面中的位置 由下式给出

(1)

其绝对平方为

			(2)
			(3)
			(4)

因此，

(5)

每个单位步长在任何方向上的可能性均相等（ 和 ）。位移是随机变量，具有相同的零均值，并且它们的差值也是一个随机变量。对此分布求平均值，该分布具有等概率的正值和负值，得出的期望值为 0，因此

(6)

因此， 个单位步长后的均方根距离为

(7)

因此，当步长为 时，这变为

(8)

为了行进距离 ，

(9)

因此需要这些步数。

令人惊讶的是，已经证明在二维格点上，当步数接近无穷大时，随机漫步到达任何点（包括起点）的概率为 1。