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Pólya 随机游走常数

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设 p(d) 为在 d-D 晶格上的随机游走返回原点的概率。1921 年，Pólya 证明了

p(1)=p(2)=1,
(1)

但

p(d)<1
(2)

对于 d>2。 Watson (1939)、McCrea 和 Whipple (1940)、Domb (1954) 以及 Glasser 和 Zucker (1977) 表明

p(3)=1-1/(u(3))=0.3405373296...
(3)

(OEIS A086230)，其中

u(3)=3/((2pi)^3)int_(-pi)^piint_(-pi)^piint_(-pi)^pi(dxdydz)/(3-cosx-cosy-cosz)
(4)
=(12)/(pi^2)(18+12sqrt(2)-10sqrt(3)-7sqrt(6)){K[(2-sqrt(3))(sqrt(3)-sqrt(2))]}^2
(5)
=3(18+12sqrt(2)-10sqrt(3)-7sqrt(6))[1+2sum_(k=1)^(infty)exp(-k^2pisqrt(6))]^4
(6)
=3(18+12sqrt(2)-10sqrt(3)-7sqrt(6))theta_3^4(0,e^(-pisqrt(6)))
(7)
=(sqrt(6))/(32pi^3)Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24))
(8)
=1.5163860592...
(9)

(OEIS A086231; Borwein and Bailey 2003, 章. 2, Ex. 20) 是 Watson 三重积分的第三个，模乘法常数，K(k) 是第一类完全椭圆积分，theta_3(0,q) 是 Jacobi theta 函数，并且 Gamma(z) 是伽马函数。

对于 d>3，闭合形式尚不清楚，但 Montroll (1956) 表明对于 d>3，

p(d)=1-[u(d)]^(-1),
(10)

其中

u(d)=d/((2pi)^d)int_(-pi)^piint_(-pi)^pi...int_(-pi)^pi_()_(d)(d-sum_(k=1)^(d)cosx_k)^(-1)dx_1dx_2...dx_d
(11)
=int_0^infty[I_0(t/d)]^de^(-t)dt,
(12)

并且 I_0(z) 是第一类修正的 Bessel 函数。

下表给出了 Montroll (1956) 和 Flajolet (Finch 2003) 提供的 p(d) 的数值。

dOEISp(d)
3A0862300.340537
4A0862320.193206
5A0862330.135178
6A0862340.104715
7A0862350.0858449
8A0862360.0729126

另请参阅

随机游走, Watson 三重积分

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Finch, S. R. "Pólya's Random Walk Constant." §5.9 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 322-331, 2003.Domb, C. "On Multiple Returns in the Random-Walk Problem." Proc. Cambridge Philos. Soc. 50, 586-591, 1954.Glasser, M. L. and Zucker, I. J. "Extended Watson Integrals for the Cubic Lattices." Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 74, 1800-1801, 1977.McCrea, W. H. and Whipple, F. J. W. "Random Paths in Two and Three Dimensions." Proc. Roy. Soc. Edinburgh 60, 281-298, 1940.Montroll, E. W. "Random Walks in Multidimensional Spaces, Especially on Periodic Lattices." J. SIAM 4, 241-260, 1956.Sloane, N. J. A. Sequences A086230, A086231, A086232, A086233, A086234, A086235, and A086236 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Watson, G. N. "Three Triple Integrals." Quart. J. Math., Oxford Ser. 2 10, 266-276, 1939.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Pólya 随机游走常数

请引用为

Weisstein, Eric W. "Pólya 随机游走常数。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PolyasRandomWalkConstants.html

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