庞加莱不等式

设 是 开、有界和 连通 的 子集 对于某个 ，并设 表示 维 勒贝格测度 在 上。在 泛函分析 中，庞加莱不等式指出存在常数 和 ，使得

对于 索博列夫空间 中的所有函数 ，该空间由 中所有 广义 导数 也都是 平方可积 的函数组成。

这个不等式在 函数空间 和 偏微分方程 的研究中都起着重要作用。因此，已经建立了许多推广，用于不太规则的区域 和函数 ，例如，多面体区域 和仅在 上分段表现良好的函数 。

在某些文献中，上述庞加莱不等式有时被称为平均庞加莱不等式，而未限定的短语“庞加莱不等式”则保留给所谓的（且密切相关的）弗里德里希斯不等式。与弗里德里希斯和庞加莱不等式在性质上相似的不等式有时统称为 庞加莱-弗里德里希斯不等式。