划分函数 Q

，也记为 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 825)，给出将整数写成正整数之和的方式数，不考虑顺序，且要求给定划分中的所有整数都是不同的。例如，，因为 10 划分为不同部分的划分是，，，，，，，，，。函数在 Wolfram 语言中实现为PartitionsQ[n]。通常定义为 1。

对于 , 2, ... 的值是 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... (OEIS A000009)。

的前几个素数值对应于索引 3, 4, 5, 7, 22, 70, 100, 495, 1247, 2072, 320397, 3335367, 16168775, 37472505, 52940251, 78840125, 81191852, ... (OEIS A035359)，对应的值为 2, 2, 3, 5, 89, 29927, 444793, 602644050950309, ... (OEIS A051005)，直至没有其他素数值 (M. Alekseyev, Jul. 10, 2015)。

也是将划分为奇数部分的方式数，有时记为 (Andrews 1998, p. 237)。

生成函数对于是

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)
			(6)

其中和是 q-Pochhammer 符号。

这也可以解释为雅可比三重积的另一种形式，用 Q 函数表示为

(7)

(Borwein and Borwein 1987, p. 64)。

递推关系由和

(8)

给出，其中

$s(n)={sigma_1(n) for n an integer; 0 otherwise,$

(9)

并且

(10)

是奇数除数函数，给出的奇数除数之和：1, 1, 4, 1, 6, 4, 8, ... (OEIS A000593；Abramowitz and Stegun 1972, p. 826)。

另一个递推关系由和

(11)

给出，其中

$s(n)={(-1)^j for n=j(3j+/-1)/2; 0 otherwise$

(12)

(E. Georgiadis, A. V. Sutherland, and K. S. Kedlaya; Sloane)。

满足不等式

(13)

对于。具有渐近级数

(14)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 826)。

对于的类 Rademacher 收敛级数由下式给出

$Q(n)=1/2sqrt(2)sum_(k=1)^inftyA_(2k-1)(n){d/(dn^')[J_0((pii)/(2k-1),sqrt(1/3(n^'+1/(24))))]}_(n^'=n),$

(15)

给出，其中

A_k(n)=sum_(h=1; (h,k)=1)^ke^(pii[s(h,k)-s(2h,k)])e^(-2piihn/k)

(16)

(P. J. Grabner，私人通信，Sep. 10, 2003；Hagis 1964ab, 1965)，其中表示和是互质的，

(17)

是戴德金和，是向下取整函数，并且是零阶第一类贝塞尔函数。公式 (16) 纠正了 Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 825) 的错误陈述，他们错误地声称与的公式中的类似表达式相同。（15）也可以显式地写成

(18)

其中是广义超几何函数。

设表示将划分为正好个不同部分的方式数。例如，，因为 10 划分为三个不同部分的划分有四种：，，，和。由下式给出

(19)

其中是划分函数 P，并且是二项式系数 (Comtet 1974, p. 116)。下表给出了的前几个值 (OEIS A008289；Comtet 1974, pp. 115-116)。

$n\k$	1	2	3	4
1	1
2	1
3	1	1
4	1	1
5	1	2
6	1	2	1
7	1	3	1
8	1	3	2
9	1	4	3
10	1	4	4	1

另请参见

整数序列素数, 奇数除数函数, 划分函数 P, 划分函数 q, 划分函数 Q 同余

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "Partitions into Distinct Parts." §24.2.2 在 Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 825-826, 1972.Andrews, G. E. The Theory of Partitions. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 7-8, 1998.Borwein, J. M. 和 Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 114-115, 1974.Hagis, P. Jr. "Partitions Into Odd and Unequal Parts." Amer. J. Math. 86, 317-324, 1964a.Hagis, P. Jr. "On a Class of Partitions with Distinct Summands." Trans. Amer. Math. Soc. 112, 401-415, 1964b.Hagis, P. Jr. "A Correction of Some Theorems on Partitions." Trans. Amer. Math. Soc. 118, 550, 1965.Skiena, S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 58, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A000009/M0281, A000593/M3197, A008289, A035359 在 "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" 中。

在 Wolfram|Alpha 上被引用

划分函数 Q

请引用为

Weisstein, Eric W. "Partition Function Q." 来自 MathWorld--一个 Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PartitionFunctionQ.html

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