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戴德金和

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给定互素 整数 p 和 q (即，(p,q)=1)，戴德金和定义为

s(p,q)=sum_(i=1)^q((i/q))(((pi)/q)),
(1)

其中

((x))={x-|_x_|-1/2 x not in Z; 0 x in Z,
(2)

其中 |_x_| 是向下取整函数。((x)) 是一个奇函数，因为 ((x))=-((-x)) 且以 1 为周期。即使 (p,q)!=1，戴德金和也是有意义的，因此互素的限制有时会被取消（Apostol 1997, p. 72）。符号 s(p,q) 有时被用来代替 s(p,a) (Beck 2000)。

戴德金和也可以用以下形式表示

s(p,q)=1/(4q)sum_(r=1)^(q-1)cot((pipr)/q)cot((pir)/q).
(3)

如果 0<h<k，令 r_0, r_1, ..., r_(n+1) 表示欧几里得算法中的余数，由下式给出

r_0=k
(4)
r_1=h
(5)
r_(j+1)=r_(j-1) (mod r_j)
(6)

对于 1<=r_(j+1)<r_j 且 r_(n+1)=1。那么

s(h,k)=1/(12)sum_(j=1)^(n+1){(-1)^(j+1)(r_j^2+r_(j-1)^2+1)/(r_jr_(j-1))}-((-1)^n+1)/8
(7)

(Apostol 1997, pp. 72-73)。

一般来说，对于 s(p,q) 的闭式求值没有简单的公式，但有一些特殊情况是

s(1,q)=((q-1)(q-2))/(12q)
(8)
s(2,q odd)=((q-1)(q-5))/(24q)
(9)

(Apostol 1997, p. 62)。Apostol (1997, p. 73) 给出了额外的特殊情况

12hks(h,k)=(k-1)(k-h^2-1) for k=1 (mod h)
(10)
12hks(h,k)=(k-2)[k-1/2(h^2+1)] for k=2 (mod h)
(11)
12hks(h,k)=k^2+(h^2-6h+2)k+h^2+1 for k=-1 (mod h)
(12)
12hks(h,k)=k^2-(h^2-t(r-1)(r-2)h+r^2+1)/rk+h^2+1
(13)

对于 k=r (mod h) 和 h=t (mod r)，其中 r>=1 且 t=+/-1。最后，

12hks(h,k)=k^2-(h^2+4r(t-2)(t+2)h+26)/5k+h^2+1
(14)

对于 k=5 (mod h) 和 h=t (mod 5)，其中 t=+/-1 或 +/-2。

戴德金和服从二项

s(p,q)+s(q,p)=-1/4+1/(12)(p/q+q/p+1/(pq))
(15)

(Dedekind 1953; Rademacher and Grosswald 1972; Pommersheim 1993; Apostol 1997, pp. 62-64) 和三项

s(bc^',a)+s(ca^',b)+s(ab^',c)=-1/4+1/(12)(a/(bc)+b/(ca)+c/(ab))
(16)

(Rademacher 1954) 互反律，其中 a, a^'; b, b^'; 和 c, c^' 是两两互素的，并且

aa^'=1 (mod b)
(17)
bb^'=1 (mod c)
(18)
cc^'=1 (mod a)
(19)

(Pommersheim 1993)。

6qs(p,q) 是一个整数 (Rademacher and Grosswald 1972, p. 28)，并且如果 theta=(3,q)，那么

12pqs(p,q)=0 (mod thetap)
(20)

并且

12pqs(q,p)=q^2+1 (mod thetap).
(21)

此外，s(p,q) 满足同余式

12qs(p,q)=(q-1)(q+2)-4p(q-1)+4sum_(r<q/2)|_(2pr)/q_| (mod 8),
(22)

如果 q 是奇数，则变为

12qs(p,q)=q-1+4sum_(r<q/2)|_(2pr)/q_| (mod 8)
(23)

(Apostol 1997, pp. 65-66)。如果 q=3, 5, 7, 或 13，令 r=24/(q-1)，令整数 a, b, c, d 满足 ad-bc=1 使得 c=c_1q 且 c_1>0，并令

delta={s(a,c)-(a+d)/(12c)}-{s(a,c_1)-(a+d)/(12c_1)}.
(24)

那么 rdelta 是一个偶数 (Apostol 1997, pp. 66-69)。

令 p, q, u, v in N 且 (p,q)=(u,v)=1 (即，两两互素)，那么戴德金和也满足

s(p,q)+s(u,v)=s(pu^'-qv^',pv+qu)-1/4+1/(12)(q/(vt)+v/(tq)+t/(qv)),
(25)

其中 t=pv+qu，并且 u^', v^' 是满足 uu^'+vv^'=1 的任意整数 (Pommersheim 1993)。

如果 p 是素数，那么

(p+1)s(h,k)=s(ph,k)+sum_(m=0)^(p-1)s(h+mk,pk)
(26)

(Dedekind 1953; Apostol 1997, p. 73)。此外，Knopp (1980) 对其进行了漂亮的推广。

另请参阅

戴德金Eta函数, Iseki公式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Apostol, T. M. "戴德金和的性质", "戴德金和的互反律", 和 "戴德金和的同余性质"。§3.7-3.9 in 数论中的模函数与狄利克雷级数，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 52 and 61-69, 1997.Apostol, T. M. Ch. 12 in 解析数论导论。 New York: Springer-Verlag, 1976.Beck, M. "戴德金余切和" 2001年12月7日. http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077.Dedekind, R. "关于片段 XXVIII 的说明。" In 伯恩哈德·黎曼全集。 New York: Dover, pp. 466-478, 1953.Iseki, S. "戴德金模函数及其相关函数方程的变换公式。" Duke Math. J. 24, 653-662, 1957.Knopp, M. I. "赫克算子与戴德金和的恒等式。" J. Number Th. 12, 2-9, 1980.Pommersheim, J. "环面簇、格点和戴德金和。" Math. Ann. 295, 1-24, 1993.Rademacher, H. "戴德金和互反公式的推广。" Duke Math. J. 21, 391-398, 1954.Rademacher, H. and Grosswald, E. 戴德金和。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1972.Rademacher, H. and Whiteman, A. L. "关于戴德金和的定理。" Amer. J. Math. 63, 377-407, 1941.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

戴德金和

请引用为

Eric W. Weisstein "戴德金和。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DedekindSum.html

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