一个 
位数字的数，如果它等于其 
位数字的 幂之和，则称为 
位自恋数。它有时也称为阿姆斯特朗数、完美数字不变量 (Madachy 1979) 或加完美数。 Hardy (1993) 写道：“在单位数之后，只有四个数字是其数字立方和：
、
、
和 
。 这些是很奇怪的事实，非常适合谜题专栏，并且可能让业余爱好者感到有趣，但其中没有任何东西能吸引数学家。” 因此，自恋数将这些“无趣”的数字推广到其他幂（Madachy 1979，第 164 页）。
除了平凡的 1 位数字之外，最小的自恋数示例是
 |
(1)
|
前几个自恋数由 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208、9474、54748、... (OEIS A005188) 给出。
可以很容易地证明，以 10 为基数的 
位自恋数仅在 
时存在，因为
 |
(2)
|
对于 
。 事实上，如下表总结的那样，以 10 为基数总共存在 88 个自恋数，这由 D. Winter 于 1985 年证明，并由 D. Hoey 验证。 T. A. Mendes Oliveira e Silva 在发布到sci.math在 1994 年 5 月 9 日的文章（第 42889 号）中给出了完整的序列。 这些数字仅存在于 1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、14、16、17、19、20、21、23、24、25、27、29、31、32、33、34、35、37、38 和 39 (OEIS A114904) 位数中，并且 
位数最小自恋数的序列为 0、(无)、153、1634、54748、548834、... (OEIS A014576)。
 | 以 10 为基数的  位自恋数 |
| 1 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| 3 | 153, 370, 371, 407 |
| 4 | 1634, 8208, 9474 |
| 5 | 54748, 92727, 93084 |
| 6 | 548834 |
| 7 | 1741725, 4210818, 9800817, 9926315 |
| 8 | 24678050, 24678051, 88593477 |
| 9 | 146511208, 472335975, 534494836, 912985153 |
| 10 | 4679307774 |
| 11 | 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 |
| 14 | 28116440335967 |
| 16 | 4338281769391370, 4338281769391371 |
| 17 | 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035 |
| 19 | 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826 |
| 20 | 63105425988599693916 |
| 21 | 128468643043731391252, 449177399146038697307 |
| 23 | 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 |
| 24 | 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093 |
| 25 | 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 |
| 27 | 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 |
| 29 | 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 |
| 31 | 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915 |
| 32 | 17333509997782249308725103962772 |
| 33 | 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 |
| 34 | 1122763285329372541592822900204593 |
| 35 | 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922 |
| 37 | 1219167219625434121569735803609966019 |
| 38 | 12815792078366059955099770545296129367 |
| 39 | 115132219018763992565095597973971522400, 115132219018763992565095597973971522401 |
下表给出了前几个以 
为基数的自恋数，适用于小基数 
。 Pickover (1995) 给出了各种基数中已知的最大自恋数的表格，而 Corning 给出了各种基数中自恋数的制表。
 | OEIS | 以  为基数的自恋数 |
| 2 | 1 | |
| 3 | 1, 2, 5, 8, 17 | |
| 4 | A010344 | 1, 2, 3, 28, 29, 35, 43, 55, 62, 83, 243 |
| 5 | A010346 | 1, 2, 3, 4, 13, 18, 28, 118, 289, 353, 419, 4890, 4891, 9113 |
| 6 | A010348 | 1, 2, 3, 4, 5, 99, 190, 2292, 2293, 2324, 3432, 3433, 6197, ... |
| 7 | A010350 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 25, 32, 45, 133, 134, 152, 250, 3190, ... |
| 8 | A010354 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 52, 92, 133, 307, 432, 433, ... |
| 9 | A010353 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 41, 50, 126, 127, 468, ... |
一组密切相关的数字将自恋数推广到 
位数字的数，这些数是其数字的任何单幂之和。 例如，4150 是一个 4 位数字的数，它是其数字的五次幂之和。 由于对于这样的数字，数字位数不等于它们被取幂的幂，因此它们不是自恋数。 作为其数字的任何单正幂之和的最小数字是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、4150、4151、8208、9474、... (OEIS A023052)，幂为 1、1、1、1、1、1、1、1、1、3、3、3、3、4、5、5、4、4、... (OEIS A046074)。
另一组相关数字是明希豪森数，它们是等于其数字的幂（每个数字为其自身的幂）之和的数字。
对于 
、4、...，等于其数字的 
次幂之和的最小数字是 153、1634、4150、548834、1741725、... (OEIS A003321)。 等于其数字的 
次幂之和的 
位数（有限序列）称为阿姆斯特朗数或加完美数，由 1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1634、8208、9474、54748、... (OEIS A005188) 给出。
如果将求 
次幂数字和运算迭代应用于数字 
最终返回到 
，则序列中最小的数字称为 
次循环数字不变量。
等于其数字的连续幂之和的数字由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、89、135、175、518、598、1306、1676、2427、2646798 (OEIS A032799) 给出，例如，
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(3)
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对于 
、2、...，通过对 
位数 
的数字求 
次幂之和获得的值为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、5、10、17、26、... (OEIS A101337)。
