将数字 
的所有位数彼此相乘，并重复此过程，直到获得个位数。所需的步骤数称为乘法持久性，最终获得的数字称为 乘法数字根 
。
例如，从起始数字 9876 获得的序列是 (9876, 3024, 0)，因此 9876 的乘法持久性为 2，乘法数字根 为 0。前几个正整数的乘法持久性为 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1, ... (OEIS A031346)。乘法持久性为 1, 2, ... 的最小数字为 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899, ... (OEIS A003001; Wells 1986, p. 78)。没有小于 
且乘法持久性大于 
的数字 (Carmody 2001; 更新了 Wells 1986, p. 78)。据推测，在持久性为 11 的情况下，缺少数字 1 的最大数字是
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有一个更强的猜想，对于每个大于 
的持久性，都存在一个缺少数字 1 的最大数字。
以 2 为基数的最大乘法持久性为 1。据推测，所有大于 
的 2 的幂在以 3 为基数时都包含 0，这将意味着以 3 为基数的最大持久性为 3 (Guy 1994)。
一个 
-位数 的数字的乘法持久性也称为其 数字长度。对于 
-, 2-, 3-, ..., 位数的数字，最大长度分别为 0, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, 10, ... (OEIS A014553; Beeler 1972; Gottlieb 1969, 1970)。具有最大乘法持久性的 
位数数字的数量，对于 
, 2, ..., 分别为 10 (包括数字 0), 1, 9, 12, 20, 2430, ... (OEIS A046148)。具有最大乘法持久性的最小 
位数数字为 0, 77, 679, 6788, 68889, 168889, ... (OEIS A046149)。具有最大乘法持久性的最大 
位数数字为 9, 77, 976, 8876, 98886, 997762, ... (OEIS A046150)。不同的 
位数数字（除了 0）的数量由 
给出，对于 
, 2, 3, ..., 结果为 54, 219, 714, 2001, 5004, 11439, ... (OEIS A035927)。
乘法持久性的概念可以推广到将数字的 
次幂相乘，并迭代直到结果保持不变。除 循环单位（收敛于 1）之外的所有数字都收敛于 0。数字的 
次幂收敛到 0 所需的迭代次数称为其 
-乘法持久性。下表给出了前几个正整数的 
-乘法持久性。
 | Sloane |  -持久性 |
| 2 | A031348 | 0, 7, 6, 6, 3, 5, 5, 4, 5, 1, ... |
| 3 | A031349 | 0, 4, 5, 4, 3, 4, 4, 3, 3, 1, ... |
| 4 | A031350 | 0, 4, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, ... |
| 5 | A031351 | 0, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 1, ... |
| 6 | A031352 | 0, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, ... |
| 7 | A031353 | 0, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 1, ... |
| 8 | A031354 | 0, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 1, ... |
| 9 | A031355 | 0, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 1, ... |
| 10 | A031356 | 0, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, ... |
Erdős 建议忽略所有零，并表明最多需要 
步才能将 
减少到个位数，其中 
取决于基数。
乘法持久性为 
, 2, 3, ... 的最小素数是 2, 29, 47, 277, 769, 8867, 186889, 2678789, 26899889, 3778888999, 277777788888989, ... (OEIS A046500)。
