强力数

如果一个整数满足：如果，则，那么它就被称为强力数。存在无限多个强力数，前几个是 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, ... (OEIS A001694)。强力数总是形如，其中。

小于等于 , , , ... 的强力数的数量分别为 4, 14, 54, 185, 619, 2027, 6553, 21044, 67231, 214122, 680330, 2158391, ... (OEIS A118896)。

Golomb (1970) 证明了强力数 ${P_k}$ 的倒数之和为：

			(1)
			(2)

(OEIS A082695)，其中是黎曼zeta函数。

并非每个自然数都是两个强力数之和，但 Heath-Brown (1988) 已经证明，每个足够大的自然数最多是三个强力数之和。存在无数对连续的强力数，前几对是 (8, 9), (288, 289), (675, 676), (9800, 9801), ... (OEIS A060355 和 A118893)。

Erdős (1975/1965) 推测不存在三个连续的强力数。Golomb (1970) 以及 Mollin 和 Walsh (1986) 也考虑过这个问题。不存在强力数三元组的猜想意味着存在无限多个非Wieferich 素数 (Granville 1986; Ribenboim 1989, p. 341; Vardi 1991)。

“强力数”一词的另一种用法是指那些等于其各位数字的任意正整数次幂之和的数（不一定每个数字的幂都相同）。前几个是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 43, 63, 89, ... (OEIS A007532)。这些数也被 Rivera 称为英俊数，并且是自恋数的一种特殊情况。以两种不同方式表示的强力数（不计算重复数字的不同幂次为不同方式）是 264, 373, 375, 2132, 2223, 2241, 2243, 2245, 2263, (OEIS A050240)。以两种不同方式表示的强力数（计算重复数字的不同幂次为不同方式）是 224, 226, 264, 332, 334, 375, 377, 445, (OEIS A050241)。

另请参阅

阿基里斯数, 自恋数

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参考文献

Erdős, P. "关于连续整数的问题与结果。《Eureka》" 38, 3-8, 1975/1976.Erdős, P. "关于连续整数的问题与结果。《Publ. Math. Debrecen》" 23, 271-282, 1976.Golomb, S. W. "强力数。《美国数学月刊》" 77, 848-855, 1970.Granville, A. "强力数与费马最后定理。《加拿大皇家科学院数学报告》" 8, 215-218, 1986.Guy, R. K. "强力数。" §B16 in 数论中未解决的问题，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 67-73, 1994.Heath-Brown, D. R. "三元二次型和三个平方数之和。" In 1986-87年巴黎数论研讨会 (Ed. C. Goldstein). Boston, MA: Birkhäuser, pp. 137-163, 1988.Mollin, R. A. "强力数的威力。《Int. J. Math. Math. Sci.》" 10, 125-130, 1986. http://www.math.ucalgary.ca/~ramollin/PPN.pdf.Mollin, R. and Walsh, P. "关于强力数。《Int. J. Math. Math. Sci.》" 9, 801-806, 1986.Ribenboim, P. 素数记录新书。 New York: Springer-Verlag, 1989.Ribenboim, P. "卡塔兰猜想。《美国数学月刊》" 103, 529-538, 1996.Rivera, C. "问题与谜题：谜题 015-自恋数与英俊素数。" http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_015.htm.Sloane, N. J. A. 序列 A001694/M3325, A007532/M0487, A050240, A050241, A060355, A082695, A118893, 和 A118896 在 “整数序列在线百科全书” 中。Vardi, I. Mathematica 中的计算娱乐。 Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 59-62, 1991.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

强力数

请引用为

Weisstein, Eric W. "强力数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/PowerfulNumber.html